孙子算经与鸡兔同笼

 

 

《孙子算经》简介

《孙子算经》，算经十书之一，是公元四世纪左右的数学著作，编撰年代不详。作者孙子，公元四世纪时人，生平不详。现传本分上、中、下三卷。上卷叙述度量衡制度、筹算记数和筹算乘除算法；中卷举例说明筹算分数算法、开平方和面积、体积计算；下卷是各种应用问题。中、下两卷共有各类算题64题。

大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？同学们，你会解答这个问题吗？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的？

原来孙子提出了大胆的设想。他假设砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，而每只兔就变成了“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚就由94只变成了47只；而每只“鸡”的头数与脚数之比变为1：1，每只“兔”的头数与脚数之比变为1：2。由此可知，有一只“双脚兔”，脚的数量就会比头的数量多1。所以，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的只数，即：47－35=12（只）；鸡的数量就是：35－12=23（只）。

当然，这道题还可以用方程来解答。我们可以先设兔的只数（也就是头数）是x,因为“鸡头+兔头=35”，所以“鸡头=35-x”。由此可知，有x只兔，应该有4x只兔脚，而鸡的只数是（35－x）,所以应该有2×（35－x）只鸡脚。现在已知鸡兔的脚总共是94只，因此，我们可以列出下面的关系式：

4x+2×(35－x)=94

x=12

于是可以算出鸡的只数是35-12=23。

 

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还有一道这样的题：“100个和尚吃100个馒头。大和尚一人吃3个，小和尚3人吃一个。求大、小和尚各多少个？”它的答案是大和尚有25个，小和尚有75个。你知道是怎样算的吗？

(Ⅰ)算术解法 
方法1假定各人吃的馒头都增为原来的三倍，那么大和尚一人吃九个，小和尚三人吃三个，一百人共吃馒头三百个。小和尚每人所吃馒头等于人数，大和尚每人所吃馒头比人数多8．今共吃馒头较人数多200，200是8的25倍，所以大和尚是25人，小和尚是75人。列式解答如下： 

100－25=75…………………………………………………小和尚数 
方法2 假定和尚的人数变成了三倍，而馒头数不变，那么大和尚三人吃馒头三个，小和尚九人吃馒头一个，300人共吃馒头一百个，大和尚数等于所吃馒头数，小和尚人数比所吃馒头数多8．今人数比共吃馒头数多200，200是8的25倍，所以小和尚共吃馒头25个，由此知小和尚有75人。列式解答如下： 

25×3＝75……………………………………………小和尚数 
100－75＝25…………………………………………大和尚数 
方法3 大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个，合并起来得大小和尚共4人，合吃4个。现在大小和尚共100人，合吃100个。由此知大 

100÷(3＋1)=25……………………………大和尚数 
100－25=75………………………………………小和尚数 
再给出下面更通俗的解法： 
(1)假设100人全是大和尚，应吃馒头多少个？ 
3×100=300(个)． 
(2)100人全是大和尚应吃300个，现在只有100个，缺少了多少个？ 
300－100=200(个)． 
(3)为什么会少200个馒头呢？因为事实上100人不全是大和尚，其中还有小和尚，一个小和尚比大和尚少吃多少个？ 

少的200个馒头必须用多少个小和尚去调换呢？ 

(5)小和尚有75人，大和尚有多少人呢？ 
100-75=25(人)． 
列成综合算式计算： 
小和尚有多少人？ 
大和尚有多少人？ 100－75=25(人)． 
(Ⅱ)代数解法 
解：设大和尚有x人，则小和尚有(100－x)人，根据题意列得方程： 

即 9x+100-x=300． 
解得 x=25(人)． 
100－25=75(人)． 
即大小和尚分别为25人和75人。