将球放入盒中的方法数总结(球盒模型问题)
来源:互联网 发布:大数据 云计算比较 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 00:20
本篇博客主要讲解球盒模型问题中所有情况,因为该问题是组合数学中的最常见的一类问题,所以有必要在这里详细地说一说。
该类问题涉及到三个因素,分别是球、盒子、盒子是否可以为空。所以大概可以将该问题分为以下八种情况:
1.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中,盒内数目无限制,有多少种情况?
2.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中,没有一个盒子为空,有多少种情况?
3.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中,没有一个盒子为空,有多少种情况?
4.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中,没有一个盒子为空,有多少种情况?
5.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中,盒内数目不限制,有多少种情况?
6.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中,盒内数目不限制,有多少种情况?
7.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中,盒内数目不限制,有多少种情况?
8.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中,没有一个盒子为空,有多少种情况?
总的来说,分为以下8种情况:
下面开始详细讲解:
1.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中,盒内数目无限制,有多少种情况?
方法数目为:F(n,r)=Crn+r−1=(n+r−1)!r!(n−1)!
本质上是多重组合问题,也就是从n个不同的元素中可重复地选取r个不考虑顺序的组合数为F(n,r)
2.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中,没有一个盒子为空,有多少种情况?
方法数目为:∑ni=0(−1)iCin(n−i)r
可以用容斥原理来解答,设Ai 表示盒子i为空的情况,那么方法数就是|A1⎯⎯⎯⎯∩A2⎯⎯⎯⎯...∩An⎯⎯⎯⎯|=nr−C1n(n−1)r+C2n(n−2)r+...+(−1)nCnn(n−n)r
或者可以从第二类Stirling数的角度来思考,方法数为n!S(r,n) ,结果和上面的一致。
3.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中,没有一个盒子为空,有多少种情况?
可以用母函数或者多重组合来解决,方法数为Cr−nr−1=Cn−1r−1
4.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中,没有一个盒子为空,有多少种情况?
方法数为第二类Stirling数,S(r,n)=1n!∑ni=0(−1)iCin(n−i)r
这里说明一下,第二类Stirling数S(r,n)就是将r个元素的集合划分为n个不相交非空子集的方案数。
5.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中,盒内数目不限制,有多少种情况?
这种情况最简单了,方案数目为nr
也就是每次放一个球,都有n种放法。
6.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中,盒内数目不限制,有多少种情况?
这种情况也是用第二类Stirling数来解决,可以理解为有0个盒子为空,有1个盒子为空,有两个盒子为空……
方案数目为S(r,1)+S(r,2)+...+S(r,n)
其中,S(r,n)表示划分成n个子集,也就是没有一个为空,S(r,n-1)划分为n-1个子集,也就是有一个盒子为空。
7.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中,盒内数目不限制,有多少种情况?
方法数目为1(1−x)(1−x2)...(1−xn) 的xr 的系数
8.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中,没有一个盒子为空,有多少种情况?
方法数目为xn(1−x)(1−x2)...(1−xn) 的xr 的系数
第7、8两种情况较为复杂,在此不做解释。
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