POJ2480 欧拉函数的应用

POJ 2480 欧拉函数的应用

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• 乍一看和欧拉函数没什么关系，但数论就是这样，处处联系。我们可以枚举i(1<= i <=n)，如果i|n，即i是n的因子，那么答案加上euler(n/i)*i。其实ans = Σi*euler(n/i)(i<=i<=n && i|n)。为什么是这样？比如，1到n中有m个数字和n拥有最大公因数i，那么就需要把m*i加入答案中。问题是如何计算m的个数。如果gcd(x,n) = i，可以得到gcd(x/ｉ , n/ｉ)=1，也就是说，有多少个小于等于ｎ的x满足gcd(x/ｉ , n/ｉ)=1，就有多少个小于等于ｎ的x满足gcd(x , n)=ｉ。那么有多少个小于等于ｎ的x满足gcd(x/ｉ , n/ｉ)=1呢？根据欧拉函数定义，有euler(n/i)个，即m=euler(n/i)，所以ans = Σi*euler(n/i)。
  然后还可以优化。小于n且与n互素的数i满足gcd(i,n)=1，所有这样的i的个数就是euler(n)，这些数和n的最大公约数的和也就是euler(n)，另外因为gcd(n,n)=n，所以答案再加上n。这些都是枚举之前的处理，写成代码就是ans=euler(n)+n。枚举的时候，要注意只枚举到sqrt(n)，多了就会超时，大于sqrt(n)而小于n的数p在枚举到i=n/p（当然此时n/p<=sqrt(n)<=p)就应一起被计算进答案中

#include <iostream>using namespace std;typedef long long ll;ll euler(ll n){    ll rea=n;    for(ll i=2; i*i<=n; i++)        if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子        {            rea=rea-rea/i;            do                n/=i;//把该素因子全部约掉            while(n%i==0);        }    if(n>1)        rea=rea-rea/n;    return rea;}int main(){    ll n;    while(cin>>n){        ll s=n+ll(euler(n));        for(ll i=2;i*i<=n;++i){            if(n%i==0){                if(i*i==n) s+=i*euler(i);                else s+=(i*euler(n/i)+n/i*euler(i));            }        }        cout<<s<<endl;    }    return 0;}