关键路径

AOE网是一个带权的有向无环图。

求关键路径

弧  a<i,j>    i --> j弧尾 i弧头 j 权值 、活动的持续时间：dut(<i,j>)

• 事件（顶点vertex）的最早发生时间：ve( j )
  
  • ve( j ) = 从源点到顶点 j 的最长路径长度
  • ve( j ) = Max{ve( i ) + dut(a)}
  • 所有以 j 为弧头的活动的弧尾最早发生时间 + 弧的权值 的最大值
  • 源点的ve 为 0
• 事件（顶点vertex）的最迟发生时间：vl( i )
  
  • vl( i ) = 从顶点 i 到 汇点 的最短路径长度
  • vl( i ) = Min{vl( j ) - dut(a)}
  • 所有以 i 为弧尾的活动的弧头的最迟发生时间 - 弧的权值 的最小值
  • 汇点的 vl 为 汇点的 ve
• 活动（弧(tail–>head)）的最早开始时间：e( a )
  
  • e( a ) = ve( i )
  • 活动最早开始时间 = 弧尾的最早发生时间
  • i 是弧 a 的弧尾
• 活动（弧(tail–>head)）的最迟开始时间：l( a )
  
  • l( a ) = vl( j ) - dut( a )
  • 活动最迟开始时间 = 弧头的最迟发生时间 - 弧的权值（活动持续时间）

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1. 求图的拓扑有序序列，按拓扑有序序列的顺序求ve( j )
   
   • 拓扑有序序列：v1,v2,v6,v3,v5,v4
   • ve(1) = 0 ,ve(2) = 8, ve(6) = 6,ve(3) =13,ve(5) = 10,ve(4) = 16
2. 求图的逆拓扑有序序列,按逆拓扑有序序列的顺序求vl( i )
   
   • 算法，在求把拓扑有序序列存入栈中，出栈序列即为逆拓扑有序序列
   • 逆拓扑有序序列：v4,v5,v3,v6,v2,v1
   • vl(4) = 16,vl(5) = 10,vl(3) = 15,vl(6) = 6,vl(2) = 8,vl(1) = 0
3. 对照ve(..) 求e( a )
   
   • e(a1) = 0,e(a2) =0，e(a3) = 8，e(a4) = 8，e(a5) = 6，e(a6) = 6，e(a7) = 10，e(a8) = 13
4. 对照vl(..) 求l( a )
   
   • l(a1) = 0,l(a2) =0，l(a3) = 8，l(a4) = 10，l(a5) = 6，l(a6) = 9，l(a7) = 10，l(a8) = 15
5. 最后对比 e( a ) 和 l( a ) ，若v( a ) = l( a ),则为关键活动。

vertex v1 v2 v3 v4 v5 v6 ve 0 8 13 16 10 6 vl 0 8 15 6 10 16

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active a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 e 0 0 8 8 6 6 10 13 l 0 0 8 10 6 9 10 15

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e = l a1 a2 a3 a5 a7

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关键路径：v1-v2-v5-v4(a1,a3,a7) 和 v1-v6-v5-v4(a2,a5,a7)