小白学数据结构——三、图（基本概念及python实现）

图的基本术语

• 有向图：图中的每条边都有方向的图叫有向图。此时，边的两个顶点有次序关系，有向边 < u,v>成为从顶点u到顶点v的一条弧，u成为弧尾（始点），v成为弧头（终点），即有向图中弧 < u,v>和弧 < v,u> 表示不同的两条边。
• 无向图：图中的每条边没有方向的图。边的两个顶点没有次序关系，无向图用边(u,v)表示对称弧< u,v>和< v,u>。
• 权：图中的边或弧上有附加的数量信息，这种可反映边或弧的某种特征的数据成为权。
• 网：图上的边或弧带权则称为网。可分为有向网和无向网。
• 邻接和关联：若边e=(u,v)或弧e= < u,v>，则称点u和v互为邻接顶点，并称边e或弧e关联于顶点u和v。
• 度：在无向图中，与顶点v关联的边的条数成为顶点v的度。有向图中，则以顶点v为弧尾的弧的条数成为顶点v的出度，以顶点v为弧头的弧的条数成为顶点v的入度，而顶点v的度=出度+入度。图中各点度数之和是边（或弧）的条数的2倍。
• 圈：图中联接同一个顶点的边叫圈。
• 平行边：图中两个顶点之间若有两条或两条以上的边，称这些边为平行边。
• 简单图：没有圈也没有平行边的图。
• 有向完全图：有n个顶点，n(n-1)条弧的有向图。每两个顶点之间都有两条方向相反的边连接的图。
• 完全图：有n个顶点，n(n-1)/2条边的无向图。若一个图的每一对不同顶点恰有一条边相连，则称为完全图。完全图是每对顶点之间都恰连有一条边的简单图。
• 路径长度：路径上边或弧的数目。若路径上的各顶点均不相同，则称这条路经为简单路经（或路），除第一个和最后一个顶点相同外，其他各顶点均不相同的路径成为回路（或环）。
• 连通图：在无向图G中，对与图中的任意两个顶点u、v都是连通的，则称图G为连通图。
• 强连通图：在有向图G中，如果对于每一对Vi和Vj 属于顶点集V，Vi不等于Vj ，从Vi到Vj和从Vj到Vi都存在路径，则称G是强连通图。
• 强连通分量：有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。
• 生成树：一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。
• 有向树：如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度为1，则是一棵有向树。

图的存储结构

图的存储结构，常用的是”邻接矩阵”和”邻接表”。

邻接矩阵

邻接矩阵是指用矩阵来表示图。它是采用矩阵来描述图中顶点之间的关系(及弧或边的权)。
假设图中顶点数为n，则邻接矩阵定义为：

下面通过示意图来进行解释。

图中的G1是无向图和它对应的邻接矩阵。

图中的G2是无向图和它对应的邻接矩阵。

通常采用两个数组来实现邻接矩阵：一个一维数组用来保存顶点信息，一个二维数组来用保存边的信息。
邻接矩阵的缺点就是比较耗费空间。

2. 邻接表

邻接表是图的一种链式存储表示方法。它是改进后的”邻接矩阵”，它的缺点是不方便判断两个顶点之间是否有边，但是相对邻接矩阵来说更省空间。

图中的G1是无向图和它对应的邻接矩阵。

图中的G2是无向图和它对应的邻接矩阵。

图的python实现

在Python中，图主要是通过列表和词典来构造。比如说下面这张图，

     A --> B     A --> C     B --> C     B --> D     C --> D     D --> C     E --> F     F --> C

就是通过下面这个字典和列表的结合进行构造

graph = {'A': ['B', 'C'],             'B': ['C', 'D'],             'C': ['D'],             'D': ['C'],             'E': ['F'],             'F': ['C']}

实现的功能：

• 寻找一条路径
• 查找所有的路径
• 查找最短路径

完整的代码实现：

# -*- encoding:utf-8 -*-''' A --> B A --> C B --> C B --> D C --> D D --> C E --> F F --> C'''def find_path(graph, start, end, path=[]):        '寻找一条路径'        path = path + [start]        if start == end:            return path        if not start in graph.keys():            return None        for node in graph[start]:            if node not in path:                newpath = find_path(graph, node, end, path)                if newpath:                    return newpath        return pathdef find_all_paths(graph, start, end, path=[]):        '查找所有的路径'        path = path + [start]        if start == end:            return [path]        if not start in graph.keys():            return []        paths = []        for node in graph[start]:            if node not in path:                newpaths = find_all_paths(graph, node, end, path)                for newpath in newpaths:                    paths.append(newpath)        return pathsdef find_shortest_path(graph, start, end, path=[]):        '查找最短路径'        path = path + [start]        if start == end:            return path        if not start in graph.keys():            return None        shortest = None        for node in graph[start]:            if node not in path:                newpath = find_shortest_path(graph, node, end, path)                if newpath:                    if not shortest or len(newpath) < len(shortest):                        shortest = newpath        return shortest#testif __name__ == '__main__':    graph = {'A': ['B', 'C'],             'B': ['C', 'D'],             'C': ['D'],             'D': ['C'],             'E': ['F'],             'F': ['C']}    print (find_path(graph,'A','D'))    print (find_all_paths(graph,'A','D'))    print (find_shortest_path(graph,'A','D'))

参考文献
http://www.cnblogs.com/skywang12345/
http://www.jianshu.com/p/2192a8e10314