Combinatorics——HDUOJ 1465

原题：

• Problem Description

  …..事情是这样的——HDU有个网名叫做8006的男性同学，结交网友无数，最近该同学玩起了浪漫，同时给n个网友每人写了一封信，这都没什么，要命的是，他竟然把所有的信都装错了信封！注意了，是全部装错哟！
  现在的问题是：请大家帮可怜的8006同学计算一下，一共有多少种可能的错误方式呢？

• Input

  输入数据包含多个多个测试实例，每个测试实例占用一行，每行包含一个正整数n（1 < n<=20），n表示8006的网友的人数。

• Output

  对于每行输入请输出可能的错误方式的数量，每个实例的输出占用一行。

• Sample Input

  2
  3

• Sample Output

  1
  2

解题思路：

错排公式:f(n) = (n-1) * [ f(n-1) + f(n-2) ]

• 下面用递推的方法推导错排公式:
  当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.　　
  
  • 第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k，一共有n-1种方法
  • 第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况.
    
    • 把它放到位置n，对于剩下的n-2个元素，有M(n-2)种方法
    • 不把它放到位置n，对于这n-1个元素，有M(n-1)种方法
• 综上得到
  M(n)=(n-1) * [ M(n-2) + M(n-1) ]

代码：

#include<stdio.h>long long SUM[21];void init(){    short i;    SUM[1] = 0; SUM[2] = 1;    for(i = 3; i <= 20; i++)        SUM[i] = (i - 1)*(SUM[i - 2] + SUM[i - 1]);}int main(){    init();    short n;    while (scanf("%d",&n)!=EOF)        printf("%lld\n", SUM[n]);}