傅里叶变换

很多东西学了后就忘光了，淡淡的忧伤。

本科数学分析学了后，教材保留带到研究生阶段。研究生毕业竟然扔了，现在到用到的时候，感觉亏死了。

还好还是留有一些印象，在网上找了些资料又回顾了一些。  但还是觉得好亏，怎么能扔了呢！！！

傅里叶级数展开：  点击打开链接

傅里叶级数转化为复数形式：  点击打开链接

算法导论里是讲傅里叶变换的应用在多项式相乘上。里面嵌套了DFT的如何快速求解。讲得很不错，可以依据这里进行实现。

一开始先看了算法导论，后面再看图像函数的傅里叶变换时，两者总是各种混淆。（）

待续

————————————————————————————————————————————————————————————

对于一个连续信号，进行采样，采样w次。得到一个w个值的向量。

那么在利用离散傅里叶变换进行计算时，最多只能得到前w个频率的波。再高频率的波，由于周期已经小于采样间隔，外界看来，这种波已经退化成低频率的波。反应在公式中就是C（2n+i)=C(i)。这里的C（2n+i)已经是算成Ci的值了。   这跟曾经看到的什么采样定理有什么关系，以后再剖析。

也就是说，fft最多求w个值，那可以求<w个值么。答案是可以的，可以指定求某几个频率的波。

这时候的算法改写，就要先确定求这些给定根的值，要用到哪些复数根，然后只求这些复根上的值。  

这时候若指定求m个频率的波系数，算法时间复杂度是介于mlogw与m*w之间。 m值越接近w，复杂度越接近mlogw。  更确切的复杂度阶暂时没想到更好的估计，以及是否有好的算法，复杂度优化至确切的mlogn。  （或者干脆直接采样m得了，不过这样就没意义了。）

——————————————————————————————————————————————————————————

图像可以延拓成周期的，然后就可以傅里叶变换。二维的可以分离成一维来做，此时复杂度为wlogw * h + hlogh*w，也就是w*h*log(w*h)。

但事实上，如果直接在二维上做可以做到么？暂时没想到怎么处理。

————————————————————————————————————————————————————————————

对于一个连续信号，进行采样，采样w次。得到一个w个值的向量。

那么在利用离散傅里叶变换进行计算时，最多只能得到前w个频率的波。再高频率的波，由于周期已经小于采样间隔，外界看来，这种波已经退化成低频率的波。反应在公式中就是C（2n+i)=C(i)。这里的C（2n+i)已经是算成Ci的值了。   这跟曾经看到的什么采样定理有什么关系，以后再剖析。

也就是说，fft最多求w个值，那可以求<w个值么。答案是可以的，可以指定求某几个频率的波。

这时候的算法改写，就要先确定求这些给定根的值，要用到哪些复数根，然后只求这些复根上的值。  

这时候若指定求m个频率的波系数，算法时间复杂度是介于mlogw与m*w之间。 m值越接近w，复杂度越接近mlogw。  更确切的复杂度阶暂时没想到更好的估计，以及是否有好的算法，复杂度优化至确切的mlogn。