不完全归纳法来解汉诺塔问题

汉诺塔的问题解决如下：

1）如果有一个盘子，直接从A移到C即可。
2）如果有n个盘子要从A移到C，B作为辅助。问题可以转化为，先将上面n-1个从A移动到B，C作为辅助，然后将第n个从A移动到C，最后将剩余的n-1个从B移动到C，A作为辅助。

假设圆盘的个数为n，圆盘编号从上到下依次为1，2，3，4，……n，证明如下

①当 n = 1 时，从 A 移动到 C 显然能够完成，设需要移动的次数是a_{1，此时显然a1等于1.}

    

②当 n = 2 时，由①可知从把 1 号盘子从 A 移动到 B能够完成（B 和 C 是等效的）此时移动次数为a₁。

之后把2号盘子移动到C上面此时移动次数为a₁ + 1。

这时把1号盘子从B移动到C和①是等价的，

移动后总的移动次数是a₂ = a₁ + 1 + a₁。

③当n = 3时，由②可知移动成下图的效果是可以实现的，

此时移动的次数是a2，接着把3号盘子移动到C上面

此时移动的次数是a₂ + 1，这时把1和2号盘子移动到C上面（移动过程中3号盘子始终不会动）和②等效的，移动完成之后如下

移动的总次数是a₃ = a₂ + 1 + a₂

④当n=4时，由③可知移动成下图的效果是可以实现的，

此时移动的次数是a₃

把4号盘子从A移动到C

此时移动的次数是a₃ + 1

接下来把123号盘子从B移动到C的过程又和③等效了移动之后如下

移动的总次数是a₄ = a₃ + 1 + a₃

假设当n= k时，从A移动到C是可以实现的，那么当n=k+1时，可以移动到A上面只剩k+1号盘子，B上面依次是1，2，3，.....，k号盘字，此时移动次数是a_k  

把k+1号盘子移动到C上面，这时移动次数是a_k + 1

接下来和n=k时移动过程等效，移动完成后移动总次数是a_k+1 =  a_k + 1+ a_k

 

可以得知移动k+1个盘子需要的次数与移动k个盘子的次数之间的关系是：

a_k+1 =  a_k + 1+ a_k = 2a_k + 1

所以a_k+1 + 1  = 2*（a_k + 1）【这是个等比数列高中学过的】

即a_k + 1 =  （a1 +1）* 2^n-1 = 2ⁿ 因此a_k = 2ⁿ - 1

至此，证明完毕。