sdnu 1033 采药
来源:互联网 发布:高性能数据库服务器 编辑:程序博客网 时间:2024/05/29 05:00
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100 577 9222 2229 8750 4699 90
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133
动态规划是运筹学的一个分支,是求解决策过程的最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程的优化问题时,提出了著名的最优化原理,把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,利用各阶段之间的关系,逐个求解,创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。在各种算法中,我认为动态规划是较难掌握好的,主要难在模型的建立。
1、假设问题答案
我们共有5个物品,答案可以是(1表示取,0表示弃):00011或者10101或者11000等等。不过不要用1,2,3,4,5代表物品,再用15或者123或者345表示答案。你会发现如果你只考虑取的部分不考虑弃的部分 ,问题答案位数一直不是固定的,增加难度。
2、假设最优答案
我们假设最优答案为00011。这样根据动态规划要求,考虑最优子问题。一般考虑子问题都是减少问题包含元素数量,同时保持子问题与原问题属于同种问题,只是考虑数量减少了。比如我们减少第五个背包。那我们的问题变成了什么?这里考虑极其特殊情况,除去的是最后一个物品。
例子:4个物品,(重量w,价值v)分别为:(5,12),(4,3),(7,10),(2,3)。
3、找到原问题与子问题之间联系
当00011为原问题最优解,那么0001为子问题最优解。为啥?如果0001不是子问题最优解,假设0101为子问题最优解,那原问题最优解就是01011或者01010。与我们假设相悖。
那么从子问题到原问题要经过什么样考虑?我们现在已经找到子问题最优解,到原问题解我们只需考虑第五个物品是取还是弃?如果取,那么取以后背包空余量减少,背包价值增大;如果弃,背包价值也会变化,因为此时我们背包容量变大了,那么我们先前的取法就有可能需要改变。所以我们需要在这里进行判断。
如果一个问题的最优解包含了物品n,即物(n)=1,那么其余物1,物2,…,物(n-1)一定构成子问题1,2,…,n-1在背包容量W-w(n)时的最优解。如果这个最优解不包含物品n,即物n=0,那么其余物1,物2,…,物(n-1)一定构成子问题1,2,…,n-1在背包容量W时的最优解。
4、迭代公式的建立
首先我们需要考虑是什么可以让我们把问题拆分成子问题?在矩阵链中我们是根据矩阵链中拥有的矩阵A个数来拆分的。通过缩小矩阵个数变成子问题。那么在0-1背包中是否也可以减少个数呢?答案是不一定。假设我们现在考虑选取两个物品,我们是可以直接选择两个价值和最大物品。但是还有一个因素:重量和问题。在重量和不等情况下认为价值和最大的两个物品总价值最大。显然这是不公平的。所以这里我们需要考虑两个因素:一个是物品数量,另一个是背包容量
再考虑一下我们问题的变量有哪些?这个地方考虑的只是变量变化的一个相对关系。
背包物品i 背包当前拥有价值tab 背包当前重量j
0 0 0
1 12 5
2 12+3=15 5+4=9
……
可以看到我们添加一个物品,背包价值增加,背包重量增加。
根据步骤3中我们可以发现:
tab(i+1) = max( tab(i) + v(i+1) , tab(i) )
j(i+1) = j(i) + w(i+1) 或者 j(i) 此处变化跟上一个公式对应。
目前的话我们有两个变化公式,在迭代中我们将其转化成一个:
tab[i][j] = max(tab[i-1][j-weight[i]]+value[i],tab[i-1][j]) ({i,j|0< i <=n,0<= j <=total})
5、例题解析过程
到第4步,我们已经完成问题的思考,接下来看一下,例题的思考过程,加深理解。
看图片中表格第一行,我们就是通过控制背包容量来控制子问题大小。随着背包容量增加,能够容纳更多物品,逐渐扩大,最后直至达到问题背包容量。
当i=1时,只能选一个1物品,看1物品行(表中第六行),随着背包容量增大,背包可以放得下1物品
当i=2时,可以选1物品和2物品,当背包容量增大至4时,此时我们可以选择2物品价值为3;继续增大背包容量,当背包容量增大至5时,我们可以不放2物品放1物品,价值为12;当背包容量为9时,1物品2物品都可以放得下,两个都放,价值15。
。。。。。。
看下迭代公式:
tab[i][j] = max(tab[i-1][j-weight[i]]+value[i],tab[i-1][j]) ({i,j|0< i <=n,0<= j <=total})
当决定是否放入i时,我们需要考虑两种子问题。
一:如果放入,那我们考虑在物品数为i-1, 背包容量为j-weight[i]时的价值
二:如果不放入,物品数为i-1, 重量为j时的价值
哪一个大,选择哪一个。
代码实现
#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstdio> int t[1200], v[110];int mv[110][1200] = {0};using namespace std;int main(){ int T, M; scanf("%d %d", &T, &M); for(int i = 0;i < M; i ++) scanf("%d %d", &t[i], &v[i]); void sove(int M,int T); int mxv = 0; sove(M,T); printf("%d", mv[M][T]); return 0;}void sove(int M,int T){ for(int i = 0; i < M; i ++) { for(int j = 0; j <= T; j ++) if(j < t[i]) mv[i + 1][j] = mv[i][j]; else mv[i + 1][j] = max(mv[i][j],mv[i][j - t[i]] + v[i]); }}参考博客点击打开链接http://blog.csdn.net/qq_16234613/article/details/52235082
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