最小生成树（prime算法）

Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

 

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new中，将<u, v>边加入集合E_new中；

4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

 

下面对算法的图例描述

图例说明不可选可选已选（V_new） 

此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。---

顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。C, GA, B, E, FD 

下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。C, GB, E, FA, D算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。CB, E, GA, D, F 

在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。无C, E, GA, D, F, B 

这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。无C, GA, D, F, B, E

顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。无GA, D, F, B, E, C

现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。无无A, D, F, B, E, C, G

 

3.简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G₀

2).假设存在G_min使得cost(G_min)<cost(G₀)   则在G_min中存在<u,v>不属于G₀

3).将<u,v>加入G₀中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈G_min)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证

下面附上数据结构严蔚敏版书上的代码：

void miniSpanTree_prim(MGraph G,VertexType u){    k=LocateVex(G,u);    for(j=0; j<G.vexnum; ++j)        if(j!=k) closedge[j]= {u,G.arcs[k][j].adj};    closedge[k].lowcost=0;    for(i=1; i<G.vexnum; ++i)    {        k=minimum(closedge);        printf(closedge[k].adjvex,G.vexs[k]);        closedge[k].lowcost=0;        for(j=0; j<G.vexnum; ++j)            if(G.arcs[k][j].adj<closedge[j].lowcost)                closedge[j]= {G.vexs[k],G.arcs[k][j].adj};    }}

完整代码：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <iostream.h>#define INFINITY 88 #define MAX_VERTEX_NUM 10 typedef int VRType;typedef char VertexType;/////////////////////////////////////////////////////typedef struct ArcCell{ VRType adj; //图的权值}ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct{  VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点向量  AdjMatrix arcs;//邻接矩阵  int vexnum, arcnum; //顶点数,弧数}MGraph;///////////////////////////////typedef struct{  VertexType adjvex;//顶点向量  VRType lowcost;//边长}closedge[MAX_VERTEX_NUM];//////////////////////////////////////////////void CreateGraph(MGraph &G);//创建矩阵存储void Print(MGraph G);//输出创建矩阵void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G, VertexType u);//prime算法int LocateVex(MGraph G, VertexType u);//求结点u的位置int minimum(closedge close);//求结点的下一个顶点//////////////////////////////////////////////void CreateGraph(MGraph &G){//采用数组表示法，构造无向图G int i,j,k; printf("请输入无向图的顶点数:/n"); scanf("%d",&G.vexnum); printf("请输入无向图的弧数:/n"); scanf("%d",&G.arcnum);    printf("请输入各个顶点符号:/n"); for(i=0;i<G.vexnum;++i)//构造顶点向量  cin>>G.vexs[i];  for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵  for(j=0;j<G.vexnum;++j)   G.arcs[i][j].adj=INFINITY;                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       char v1,v2;//顶点  int w;//<v1,v2>的权值  for(k=1;k<=G.arcnum;++k){   cout<<"请输入第:"<<k<<"条边依附的俩个顶点以及权值:/n";   cin>>v1>>v2>>w;   i=LocateVex( G, v1);   j=LocateVex( G, v2);   G.arcs[i][j].adj=w;   G.arcs[j][i].adj=G.arcs[i][j].adj;  }  }void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G,VertexType u){  int i, j, k = 0;  closedge close;  k = LocateVex ( G, u );   for ( j = 0; j < G.vexnum; j++ )  {    if (j != k)    {         close[j].adjvex = u;      close[j].lowcost = G.arcs[k][j].adj;    }  }  cout<<j<<" fiusduasdfhul";   close[j].lowcost = INFINITY;   close[j].adjvex = '/0';//为了在minimum(close)中保证while循环的结束条件   close[k].lowcost = 0;  for (i = 1; i < G.vexnum; i++)  {     k = minimum(close);     cout<<close[k].adjvex<<"---->"<<G.vexs[k]<<" "<<close[k].lowcost<<endl;     close[k].lowcost = 0;     for (j=0; j<G.vexnum; j++)    {      if (G.arcs[k][j].adj < close[j].lowcost)      {     close[j].adjvex = G.vexs[k];     close[j].lowcost = G.arcs[k][j].adj;      }    }  }}int LocateVex(MGraph G,char v){//确定v在G中的位置 int i=-1; for(i=0;i<G.vexnum;++i) {  if(G.vexs[i]==v)   break;  else   continue;    } return i;}void Print(MGraph G){ int i,j; for(i=0;i<4;i++){  cout<<G.vexs[i]<<endl; } for(i=0;i<4;i++) {  for(j=0;j<4;j++)   cout<<G.arcs[i][j].adj<<"/t";  cout<<endl;    }}int minimum(closedge close){  int i=0, client = INFINITY, j;  while(close[i].adjvex != '/0')  {    if (client > close[i].lowcost && close[i].lowcost != 0)    {      client = close[i].lowcost;      j = i;    }    i++;  }  return j;} int main(int argc, char* argv[]){ MGraph G; CreateGraph(G); Print(G); MiniSpanTree_PRIM(G,'a'); return 0;}