（TSOJ1350～1352）面朝大海，春暖花开

题目描述：

选择那些大晴天的日子,行走在孤单的海岸线,静静地种花给自己看~

我们假设把海岸线分为n块,每块的分别标记为1...n,每块都可以种花,每次种花可以选择某个[left,right]的闭区间,每块种上一朵花.经过m次种花操作后,根据输入的区间,求该区间内花的总数.

输入描述：

多组输入

对每组输入，第一行有两个整数n m,分别代表总块数和种花的次数.(1 <= n, m <= 100)

接下来的m行, 每行两个整数 L,R 代表[L,R]区间内每块种上一朵花.(1 <= L <= R <= n)

最后一行,输入两个整数 a,b 代表最后要查询的花的总数的区间.(1 <= a <= b <= n)

输出描述：

     对每组测试数据，输出区间[a,b]内花的总数

总共有三题，不同之处在于数据范围不同。

1350：简单模拟，将每一块的花的数量存在一个数组a[n]中，每次读取L和R后将a[L]到a[R]部分每个点都加1。输入最后一行读取a和b，累加法得出ans。

1351：简单模拟，数据范围稍大。与上一题不同，此题需要优先读入每组l和r以及a、b，如果存在某一组l和r满足（r<a||l>b）则跳过此组数据，继续处理下组数据。其余数据处理方法与上一组相同。（没有试过此解法，只是感觉，当时题目看复杂了直接写了树状数组）

1352：树状数组+差分

使用条件：多组更新+多组查询

使用方法：

（1）lowbit运算

         int lowbit(int x)
          {
      return x&(-x);
          }

        lowbit（x）得出的结果为x的二进制数从低位向高位数，仅保留第一个数字1。

举个例子，5的二进制为101，lowbit（5）结果为001，即为1。

先列举出从1~32的lowbit，

1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 32

我们让第i个位置管理[i-lowbit(i)+1,i]这一段区间，示意图如下：

某个数字的管理位置即为顺着该数字往下划，碰到的第一根横线所覆盖的范围。

举个例子，4能管理1-4的所有数，5只能管理到它自己。

我们每次执行对第X个数+1，即需要对所有能管理到x的数+1。

（2）寻找快速管理到第X个数的方法

void add(int x)
{
     for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        a[i]++;
}

假设X=3，那么首先把a[3]++；

其次，此时X = 3+lowbit（3）= 4，对照上图，4能管理到3；

依次类推，X = 4+lowbit（4）= 8……

一直到x>n为止。

该操作将时间复杂度有O(1)上升到O（logn），得来的好处是将下面查询操作的时间复杂度由 O(n)级别降低到O(logn）级别。

（3）查询操作

首先需要明确的是，查询的并不是具体区间和，而是前缀和。

int sum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
ans += a[i];
return ans;
}

此操作即为求sum（1，x），lowbit的巧妙之处在此体现出来——不会出现重复加上某一个数，具体可以参照上图并自己思考一下。

以上为树状数组的大致讲解，单点查询的话用上述方法即可。而此题有些神奇，考的是区间查询，需要引入差分数组来解决。即区间[L,R]所有值+1改成"位置L加上1，位置R+1减去1"，sum（a,b）即为 sum（1，b）- sum（1，a-1）。

底下方法源于 http://blog.csdn.net/fsahfgsadhsakndas/article/details/52650026 。

需要修改lowbit函数和sum函数，

void add(int x,int num)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
{
c1[i] += num;
c2[i] += num*x;
}
}
int sum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
{
ans += (x+1)*c1[i]-c2[i];
}
return ans;
}

我们假设sigma(r，i)表示r数组的前i项和，调用一次的复杂度是log2(i)

设原数组是a[n]，差分数组c[n]，c[i]=a[i]-a[i-1]，那么明显地a[i]=sigma(c,i)，如果想要修改a[i]到a[j](比如+v)，只需令c[i]+=v,c[j+1]-=v。

观察式子：
a[1]+a[2]+...+a[n]

= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n]) 

= n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]

= n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n])    (式子①)

那么我们就维护一个数组c2[n]，其中c2[i] = (i-1)*c[i]

每当修改c的时候，就同步修改一下c2，这样复杂度就不会改变

那么

式子①

=n*sigma(c,n) - sigma(c2,n)

于是我们做到了在O(logN)的时间内完成一次区间和查询。

以上即为树状数组的大致题解，其中最为精彩的地方就在于lowbit函数的运用以及差分求前缀和，巧妙地将算法的时间复杂度由O(N)级别降到O(logn）级别。