从平方探测法引申——平方数列取模的规律数列

• 今天跟人复习了散列表中的平方探测法，发现一个十分有趣的事实

自然数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …… 平方数列 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 255 265 289 …… mod 6 1 4 3 4 1 0 1 4 3 4 1 0 1 4 3 4 1 …… mod 7 1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 …… mod 17 1 4 9 16 8 2 15 13 13 15 2 8 16 9 4 1 0 ……

可以发现 对6取余，是一个循环数列，循环节是143410.
并且除掉0之后，这串子数列是对称的
这个结论对于7和17也是成立的

那么 是不是对于任意的正整数k>2,都是成立的呢？

对于任意的自然数n来说，总可以表示成n=a*k±r,其中a是商，r是余数
所以

n2=(ak±r)2=a2k2±2ark+r2r∈[0,k2]
所以
n2≡r2(modk)

对于一个k的周期来说

(k为偶数。k为奇数时只是多处理一个数字，原理是一样的)

Mod k 1 2 3 4 …… k/2 k/2+1 k/2+2 …… k-1 0

我们有
k2+1≡−k2+1(modk)
k2+2≡−(k2−2)(modk)
k2+3≡−(k2−3)(modk)
……
k−1≡−1(modk)
k≡0(modk)

Mod k 1 2 3 4 …… k/2 -k/2+1 -k/2+2 …… k-1 0

可以看到 余数是从1，2……，k/2，-k/2+1……-2,-1,0这样变化的。
又有

{n2≡r2(modk)r2=（−r）2（这是平方的性质）

自然就会看到这是个对称的变化了。

那么，形如
{an|an=nλ,λ∈N+}
这样的数列呢？
容易得到当λ 是偶数的时候，还是有这样的性质。
当λ 是奇数的时候
−rλ=(−r)λ
此时就不是对称的了。

对于平方探测法 F(i)=i2来说
当i>k2 的时候，必定在前面有i0 使得 Hash(x)+i20≡Hash(x)+i2(modk)
这就产生了冲突，这个冲突是必定存在的。

于是，Hash的可选空位必定小于等于k/2.