数字图像的梯度概念(the gradient of the image)

  在理解HOG算法之前，必须先要理解梯度这一概念

  数学中梯度的概念

 对于函数 z = f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一个属于D点P(x,y)，都可定出一个向量

                                                                        

 这个向量称为函数 z = f(x,y)在点P出的梯度，记为如下：

 

                                                                                            

图像梯度

图像函数f(x,y)在点(x,y)的梯度是一个具有大小和方向的矢量，设为Gx 和 Gy 分别表示x方向和y方向的梯度，这个梯度的矢量可以表示为：

                                                                                   

这个矢量的幅度为

                                                               

方向角为：

                                                                     

对于数字图像而言，相当于对二维离散函数求梯度，如下：

图像中像素点(x,y)的梯度为：

      最常用的方法：

       索贝尔算子（Sobeloperator）主要用作边缘检测，在技术上，它是一离散性差分算子，用来运算图像亮度函数的灰度之近似值。在图像的任何一点使用此算子，将会产生对应的灰度矢量或是其法矢量

Sobel卷积因子为：

该算子包含两组3x3的矩阵，分别为横向及纵向，将之与图像作平面卷积，即可分别得出横向及纵向的亮度差分近似值。如果以A代表原始图像，Gx及Gy分别代表经横向及纵向边缘检测的图像灰度值，其公式如下：

具体计算如下：

图像的每一个像素的横向及纵向灰度值通过以下公式结合，来计算该点灰度的大小：

 

通常，为了提高效率使用不开平方的近似值：

 

然后可用以下公式计算梯度方向：

 

若图像为： 

 

则使用近似公式的计算的结果为：

 

 这样的形式很好理解，假如中间为边缘，那么边缘两侧的亮度差距就会变大，乘以符号相反的系数，会使得最终的结果达到很大的值，在图像上来看就是白色；而不是边缘的区域，左右两边或者上下两边就会抵消，在图像上看就是黑色。

物理意义为：梯度的方向是函数f(x,y)变化最快的方向，当图像中存在边缘时，一定有较大的梯度值，相反，当图像中有比较平滑的部分时，灰度值变化较小，则相应的梯度也较小，图像处理中把梯度的模简称为梯度，由图像梯度构成的图像成为梯度图像。求导操作不仅能够捕获轮廓，人影和一些纹理信息，还能进一步弱化光照的影响。

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