cf886E Maximum Elements 题解

DP神题。也是本蒟蒻做的第一道组合数学+DP题。

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先来看看题意。Petya嫌弃自己求区间最大值的做法太慢了，所以发明了这样一个函数：

int fast_max(int n, int a[]) {     int ans = 0;    int offset = 0;    for (int i = 0; i < n; ++i)        if (ans < a[i]) {            ans = a[i];            offset = 0;        } else {            offset = offset + 1;            if (offset == k)                return ans;        }    return ans;}

显然这个函数很容易被hack掉，现在简化问题：a数组是1~n的排列，输入n，k，问有多少情况会被hack掉。
比如说，n = 5, k = 3，那么[4, 1, 2, 3, 5], [4, 1, 3, 2, 5], [4, 2, 1, 3, 5], [4, 2, 3, 1, 5], [4, 3, 1, 2, 5], [4, 3, 2, 1, 5]是会被hack掉的。

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一上来我看见了dp的标签，就在思考前i个数能够hack掉的情况有多少。但这样转移是很难设计的，于是我就厚颜无耻的看了题解。鉴于我辣鸡的阅读理解水平，还是没有理解。
于是我机智的翻了讨论区。
首先，我们用dp[i]表示1~i的排列能够hack掉的数量是多少。
不得不说，这是一个非常巧妙的状态设计，因为借此问题就从一道玄学题变成了组合数学题。
再思考转移。那么目前横亘在我们面前的就是：i是否被作为最大值扔出去？
分类讨论一下。
我们称一个符合条件的排列w为好排列。
如果i−1在前i−k−1个数中，那么这种情况有(i−k−1)×(i−2)!，因为i−1这个数有i−k−1种摆法，而前i−2个数可以随心情乱摆。
否则，不妨设i−1的位置为p。那么我们就会发现，i−1已经救不了这一排列了，我们必须让前h个数成为一个好的排列，则共有DP[h]种情况。而剩下i−h+1个可以随便放，有(i−h+1)!种方法。显然，前h个数有Ch−1i−2种选法，然后稍作变形，有：
dp[h]×(i−h+1)!×Ch−1i−2=dp[h]×(i−h+1)!×(i−2)!(i−h+1)!×(h−1)!=dp[h]×(i−2)!(h−1)!

综上所述，我们可以列出一个DP方程：

dp[i]=(i−k−1)×(i−2)!+∑h=i−ki−1dp[h]×(i−2)!(h−1)!

这里可以考虑用前缀和维护一下dp[h](h−1)!，这样每次转移就是O(n)的。这也是题解给出的递推式。
接下来转换一下思维。考虑1~i的排列中i的位置，如果i在第k位置这个排列是好的，那么就有dp[k]种排列，显然，每个排列的元素有Ck−1i−1种选法，剩余的i−k个元素是可以随便乱搞的，即有(i−k)!种排列方式。化简一下就是dp[k]×(i−1)!(k−1)!综上所述，我们得出一个更加优美的递推式：

dp[i]=∑k=1idp[k]×(i−1)!(k−1)!

可以将后面那一串用前缀和维护一下，则复杂度O(n)
至此，该问题解决。代码之后再填吧..