关于最小路径的算法（Dijkstra算法）

关于最小路径的算法（Dijkstra算法）

*注：这里我只研究算法，不研究实现* _（其实是本人太菜）

**先定义概念：Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他 *所有节点* 的最短路径（注意是可以求出到所有节点的最短路径）。**

主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。（我们通过对路线长度的计算，得到每个顶点的权重，权重越小，代表路径越短。）

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需要两个集合来存储图中的顶点：

S集合初始只包含起始顶点，每算出来一条最短路径，就将新路径的终点加入集合中。

U集合为未确定最短路径的顶点的集合，初始包含图中除了初始顶点外的所有点。

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算法流程：

①->

将初始点 v 存入 S 中，指定其权值为 0 ，设置 v 为中间点；
将图中的除了v的所有点存入 U 中，暂时不指定它们的权值；

②->

计算 ：

 Q =  S中间点的权值  + S中间点到U中各点的距离; if（ S中间点不和U中的点连接）{     设置该点的 Q 为 无穷大； } //此时所有点都会有权值 if ( U中的各点还没有指定权值 ) {    指定该点的权值为 Q; } else ( U中的各点已经有了权值 ){     if ( Q < 该点的权值 ){        将该点的权值变为Q;    } else ( Q > 该点的权值 ){        不做动作；    } }

③->

比较U中的所有点的权值，取出权值最小的那个点（这里暂时指定其为 k），将其放入S中，S就变为< v, k >, 此时将 k 设置为新的中间点 ，并且添加一条消息：

起点：v , 终点： k, 最短路径： v -> k

每找到一条最短路径，就会更改中间点，并添加一条消息

注意：这里需要留意一个问题：

如果本次得到的最小权值并不是本次计算后更改的，而是之前求得的值，那么意味着v - k 再到某个点的距离 大于 v 直接到 某个点的距离，表述的不太清楚，这样看：

此时我们的图是这样的     v -> a       v -> b     a -> b第一次求最短路径     得到 v - b , S中是 < v , b >    此时，虽然a没有放入S中，但是它有了权值，正确的说，是V中所有点都有了权值。a的权值为 3, b的权值为2.第二次求最短路径    因为 Q = b->a的距离 + b 的权值  = 4  >  a的权值 Q= 3 (也就是第一次求得的权值)，    所以 a 的权值不变。    因为 此时U中最小的权值不是本次计算后变化得到的，而是之前计算得到的权值    所以 本次求得的最短路径并不是 v -> b -> a 而是 v -> a    还是将权值最小的a放入S,并设置a 为新的中间点，并添加一条记录：        起始点： v ,目的地：a  ,最短路径： v -> a    如果是   Q = b->a的距离 + b 的权值   <  a的权值     将 a 的权值修改为 (b -> a的距离 + b 的权值)，并将a放入X中，设置中间点为a，并添加一条记录：        起始点： v ,目的地：a  ,最短路径： v -> b -> a

④->

转到②继续执行，直到U为空

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本人认为，如果要知道所有的最短路径，就得在每一次计算权重的时候，给这个顶点附加一条信息，来说明这次的权值是 哪几条路径 相加得到的。 
    比如：我们的附加信息为：  a点的最短路径  =  a之前的那条最短路径（用路径的终点表示）  + a  
    通过递归: 
     a 之前的那条最短路径  = a 之前的之前的那条最短路径 + 之前的最短路径的终点 + a  
     a 之前的之前的那条最短路径  = a 之前的之前的之前的那条最短路径 + 之前的之前的最短路径的终点 + a  
    … 
    直到找到起点 
然后我们就能找到每条最短路径啦