俯视膜拜初等数论

第一部分：质数

质数

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又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。
质数是一个孤独的数字呀！

质因数分解

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什么是质因数分解？

就是将一个数字分解成几个质数相乘。小学时候我们就学过的，很简单。比如9=3∗3；但是 64=8∗8 就不对了，因为8不是质数啊！

有什么用？

用处很大很大的！后面的求欧拉函数就是在这个的基础之上建立的。

思路是什么？

我暂时也不能理解为什么这么干。

代码

#include<iostream>#include<vector>#include<cmath>using namespace std;vector<int> factor(int n){    vector<int> ans;    for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++)    {        while (n%i == 0)        {            ans.push_back(i);            n /= i;        }    }    if (n > 1)    {        ans.push_back(n);    }    return ans;}int main(){    int n;    cin >> n;    vector<int>ans=factor(n);    for (int i = 0; i < ans.size(); i++)    {        cout << ans[i] << " ";    }}

欧拉函数

欧拉函数是什么?

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目φ(1)=1。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler’so totient function)。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
这里有一个求欧拉函数的简便方法

思路

基于上面的分解质因数的算法

代码

XX

第二部分：求解不定方程

欧几里得算法

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扩展欧几里得算法

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怎么证明是对的？

忘了

有什么用？

可以用来求 ax+by=gcd(a,b)中的x和y的值。

那么问题来了如何求ax+by=z的值呢？只需要将 ax+by=gcd(a,b)的解x1和y1扩大z/gcd(a,b)倍就可以了。

举个例子：
我可以直接先求3x+7y=(3,7)的解，也就是3x+7y=1的解。我们得到x=−2，y=1。然后我们将x和y扩大50/(3,7)倍，也就是50/1倍，得到x=−2∗50,y=1∗50。于是我们得到了3x+7y=50的解是−100和50。

代码

#include <iostream>using namespace std;int gcdEx(int a, int b, int &x, int &y) {    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return a;    }    int r = gcdEx(b, a%b, x, y);    int x1 = x, y1 = y;    x = y1;    y = x1 - (a / b) * y1;    return r;}int main(){    int x, y;    cout<<gcdEx(47, 30, x, y)<<"\n";    cout<<x<<" "<<y;    return 0;}

解二元一次不定方程

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有什么卵用？

可以求逆元啊！！
同余方程可以转为不定方程，所以解同余方程可以看成解不定方程。

代码

#include <iostream>using namespace std;int gcdEx(int a, int b, int &x, int &y){    if (b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    int r = gcdEx(b, a%b, x, y);    int x1 = x, y1 = y;    x = y1;    y = x1 - (a / b) * y1;    return r;}int main(){    int x, y;    int a, b, c; //ax+by=c    cin >> a >> b>> c;    int numGcd = gcdEx(a, b, x, y);    cout << c / numGcd * x << " " << c / numGcd * y;    return 0;}

逆元

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逆元是什么？逆天啊！

当a，m互质，若ax≡1(modm)，则x是a关于模m的逆元。

逆元有什么用？

我也不知道

怎么求逆元

当a，m互质，ax≡1(modm)。我们知道ax≡1(modm) 等价于ax+my=1。那么ax+my=1不就是个不定方程吗？直接用exgcd解不就行了吗？
注意解出的x可能是负数，如果是负数我们就直接加上m就行了。依据是不定方程通解公式，如下。

思路

就把它当做一个不定方程的问题来处理就行了。

代码

#include<iostream>#include<vector>#include<cmath>using namespace std;int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){    if (b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    int r = exgcd(b, a%b, x, y);    int x1 = x;    int y1 = y;    x = y1;    y = x1 - (a / b) * y1;    return r;}// 求逆元int inverse(int a, int m){    int x, y;    exgcd(a, m, x, y);    return x;}int main(){    int a, m;    cin >> a >> m;    int ans = inverse(a, m);    if (ans < 0)    {        cout << ans + m;    }    else    {        cout << ans;    }}