【小白的CFD之旅】18 控制方程基础

忙碌了一个学期终于放暑假了，小白心情很愉快。然而想起CFD教材上的那些点缀着各种让人眼花缭乱符号的数学公式，整个人就不好了。不过这些事情小白也不好意思去麻烦师兄师姐们，还得靠自己去摸索。正好趁着暑假把这些东西整理一下。小白觉得最基础的CFD理论是流动控制方程，除此之外是各种数值算法。
所谓的流动控制方程，指的是流体流动过程中所需要遵循的物理规
律，最常见的流动控制方程包括质量守恒方程、动量守恒方程与能量守恒方程。针对不同的流动工况，控制方程可能还包括组分守恒方程、湍流方程、状态方程等。然而对于任何流动问题，都必须遵循质量守恒方程和动量守恒方程。在非常多去的参考文献中，质量守恒方程也称之为连续方程，而把动量方程称之为纳维-斯托克斯方程，简称NS方程，CFD的任务即求解NS方程。

1 连续方程（质量守恒方程）
连续性方程比较简单。简单来讲，就是流入（流出）系统中的质量要等于系统质量的增加量（减少量）。
连续方程更严谨的表述为：
[控制体内流体质量变化率] = [穿过控制体表面的流体质量流量]
因此有：

ddt∫vρdV=−∫sρv→⋅ndS

式中，n为单位法向矢量。
利用高斯散度定理（一个矢量散度的体积分应等于这个体积表面通量的面积分），即：

−∫Sρv→⋅ndS=ddt∫Vdivρv→dV

则有：

ddt∫VρdV=ddt∫Vdivρv→dV

改变形式可得：

∫V[∂ρ∂t+∇⋅(ρv→)]dV=0

式中，∇⋅(ρv→)≡divρv→。

由于推导过程中对控制体形状未做任何限定，因此意味着

∂ρ∂t+∇⋅(ρv→)=0

此即流动控制方程的质量守恒方程。
可展开为：

∂ρ∂t+∂(ρu)∂x+∂(ρv)∂y+∂(ρw)∂z=0

对于不可 压缩流体介质，其密度ρ为常数，则质量守恒方程可简化为：

∇⋅v→=0

展开即为：

∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z=0

2 随体导数
随体导数是流体力学中的概念，与数学上的导数概念有差异。随体导数通常指流体微团岁时间的变化率。
随体导数用DDt来表示。其形式为：

D()Dt=∂()∂t+u∂()∂x+v∂()∂y+w∂()∂z

随体导数非常有用。若将单位质量通用变量记为ϕ，将ϕ对时间的随体导数记为Dϕ/Dt，则有：

DϕDt=∂ϕ∂t+u∂ϕ∂x+v∂ϕ∂y+w∂ϕ∂z

此方程定义了单位质量通用变量ϕ对时间的变化率。而单位控制体体积内通用变量ϕ的密度可通过密度ρ与ϕ的随体导数的乘积得到，即

ρDϕDt=ρ∂ϕ∂t+ρu∂ϕ∂x+ρv∂ϕ∂y+ρw∂ϕ∂z

此式表示单位控制体内通用变量ϕ变化率的非守恒形式。

通过质量守恒方程

∂ρ∂t+∂(ρu)∂x+∂(ρv)∂y+∂(ρw)∂z=0

容易猜想通用变量ϕ的守恒形式的各项可统一表示为：

∂(ρϕ)∂t+∂(ρuϕ)∂x+∂(ρvϕ)∂y+∂(ρwϕ)∂z=0

转换形式：

∂(ρϕ)∂t+∂(ρuϕ)∂x+∂(ρvϕ)∂y+∂(ρwϕ)∂z=ρ∂ϕ∂t+ρu∂ϕ∂x+ρv∂ϕ∂y+ρw∂ϕ∂z+ϕ[∂ϕ∂t+∂(ρu)∂x+∂(ρv)∂y+∂(ρw)∂z]

而根据质量守恒定律，有

∂ϕ∂t+∂(ρu)∂x+∂(ρv)∂y+∂(ρw)∂z=0

故可得：

∂(ρϕ)∂t+∂(ρuϕ)∂x+∂(ρvϕ)∂y+∂(ρwϕ)∂z=ρ∂ϕ∂t+ρu∂ϕ∂x+ρv∂ϕ∂y+ρw∂ϕ∂z=ρDϕDt

因此单位体积内ϕ的变化率可表示为ρDϕDt。

3 动量守恒方程
应用牛顿第二定律，作用在流体微团上的合力等于流体质量与加速度的乘积，即

∑Fx=max

式中，Fx和ax分别为x方向上的分力与加速度。