二叉搜索树

结构特点

二叉搜索树的特点是，小的值在左边，大的值在右边，即

比如：

这样的结构有一个好处是很容易获得最大值（Maximum）、最小值（minimum）、某元素的前驱（Precursor）、某元素的后继（Successor）。

最大值：树的最右节点。

最小值：树的最左节点。

某元素前驱：左子树的最右。

某元素的后继：右子树的最左。

基本操作

二叉搜索树的基本操作包括searching、traversal、insertion以及deletion。

(代码为了省地方没有按照规范来写，真正写代码的时候请一定遵照规范)

① searching

tree * search_tree(tree *l, item_type x){    if(l == null) return NULL;    if(l->item == x) return l;    if(x < l->item){        return (search_tree(l->left, x));    }       if(x > l->item){        return (search_tree(l->right, x));    }}

时间复杂度为O(h)，h为树的高度。

② traversal

由于小的节点在左边，大的节点在右边，因此使用中序(in-order)遍历可以方便的得到一个sorted list。

void traverse_tree(tree *l){    if(l != NULL){        traverse_tree(l->left);        process_item(l->item);        traverse_tree(l->right);    }}

时间复杂度为O(n)，n为树的总结点数。

③ insertion

insert_tree(tree **l, item_type x, tree *parent){    tree *p; /*temporary pointer*/    if(*l == NULL){        p = malloc(sizeof(tree));        p->item = x;        p->left = p->right = NULL;        p->parent = parent;        *l = p;        return;    }    if(x < (*l)->item){        insert_tree(&((*l)->left), x, *l);    }else{        insert_tree(&((*l)->right), x, *l);    }}

时间复杂度为O(h)，h为树的高度。

④deletion

在删除节点时有三种情况：

1）要删除的节点为叶节点

　　那么直接删除即可。

2）要删除的节点有一个子节点

　　那么删除掉该节点，并用其唯一的子节点代替自己的位置即可。

3）要删除的节点有两个子节点

　　那么首先要找到该节点的右子树的最小值节点k，然后将该k替换掉待删除节点。

最坏情况下，时间复杂度为O(h)+指针的移动开销。

 

进阶

由上可知，二叉搜索树的dictionary operation（包括search、insertion、deletion）的时间复杂度均与O(h)相关，h为树的高度（log n），如果按照上述的insertion方法构建树，那么构建出来的树的形状各异，特别是当输入序列有序时，更会退化到链表的程度。所以，如果能用某种方法，将树的高度降低到最小，那么其dictionary operation的时间开销均可以降低，不过相对而言构建树的开销将增大。为了降低二叉搜索树的高度而提出了平衡二叉树（Balanced Binary Tree）的概念。它要求左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。这样就可以将搜索树的高度尽量减小。常用算法有红黑树、AVL、Treap、伸展树等。