解密ln( )函数

感谢理解完指数函数（指数函数和自然对数），下一个目标就是对数函数。数学中对自然对数的定义是的逆运算，但有一个更形象的理解：自然对数刻画了复合利率的增长时间

假设你的投资有100%的回报率，并保持复利。如果你想获得10倍的增长，那么你只需要等待年。接下来我将给大家解释为什么是这个数字。

e 的指数函数和自然对数互为逆运算：

e 是单位时间的增长的总量倍数

自然对数(ln) 是在复利增长的条件下，增长到某一数量级所需要的时间

可别被费解的名词解释吓到！深吸一口气，跟随笔者一道，让我们进入e的内部一探究竟！

e--关于增长

正如我们上次所说的那样，描述了复合增长率乘以时间的情形：连续3年保持100%的增长，和在1年里有300%的增长，最终效果是一样的。

我们可以使用任意的复合利率和时间，将其转化为利率为100%时所需要的时间。这样我们就只需要考虑时间分量。

例如：

在50%的增长率下增长4年，可以转化为在100%的增长率下增长2年。即：

所以，含义是：

在增长了x个单位时间后，我能得到多少？

例如：在增长了3个单位时间后，我就得到倍的东西。

所以e是一个单位因子，他向我们展示了单位时间内的复合增长率。

ln--关于时间

自然对数是的逆运算，那么逆运算是什么意思呢？

的x是代表时间，而计算结果是增长倍数。

lnx的x是代表增长倍数，而计算结果是时间。

例如：

假设增长率为100%，我们有：

经过3个单位长度的时间，我们得到了20.08倍的东西。

如果我们要得到20.08倍的东西，大约需要3个单位时间。

自然对数并不“自然”

什么是ln(1)呢？我需要多少天的复利增长才能获得原总数的1倍。答案很显然：0。

那么小数值会是怎么样的呢？我们需要花多少时间来增长到0.5倍呢？假设我们的复合利率仍为100%，那么我们知道就是得到两倍东西所需要的时间。”增长到0.5倍“也就是说：倒退到现有金钱的一半所需要的时间，即：

其中，负数的意思就是时间倒退，即我们需要倒退约为0.693个单位时间就会回到现在金钱的一半。一般来说，我们可以求该小数或者分数的倒数来求得倒退所需的时间。

再进行一次思维实验：假设你有一笔金钱，它如何从1增长到-3倍呢？

显然这是不可能的，我们拥有的金钱数只能大于或等于0。所以对于自然对数来说，负数是没有定义的。

有趣的对数乘法

我需要花多少时间来增长到40倍呢？综上所述，问题转化成符号式即为。但是，我们换种思考方式，我们可以把40倍的增长看作先从1增长到4，即：先翻4倍，然后再从4增长到40，即：再翻10倍。即：

任何数字都可以这样拆开，如：要增长到原来的20倍，那么，就可以看成先增长2倍再增长10倍，或者先找找5倍再增长4倍等等。

不失一般性：

那么对于分数来讲是如何的呢？例如，根据上述知识，我们很快能理解，其意思是先增长到原来的5倍，再退回现在的1/3。又知道是倒退了的时间，即：

所以原式可写成如下：

不失一般性：

我们可以看到，看似抽象的数学符号，背后都蕴含着实际的意义

自然对数在复利中的使用

到这里你已经基本明白了自然对数，但是你仍然会问，上述问题都是假设复合利率是100%，但是更多的时候我们的复合增长率不是100%，而是其他数值，如5%，那么怎么办呢？

Ok，没问题，我们的ln( )实际上是由利率和时间复合而成的，他就是上篇文章我们说到中的x。只是我们假设复利为100%使得我们的问题更容易理解，但是我们仍然可以使用任何的利率。

假设我们需要在复利为100%的情况下得到30倍的增长，即：

我也可以写成:

显然，这个方程意味着在100%的复利中，3.4年可以增长30倍。上次讲到，其实这个3.4是由时间乘以利率获得的，即：

事实上，我只需要修改“时间”和“利率”就行了。例如我们要在5%的复利下增长30倍，即：

显然，我们以100%的增长率增长30倍需要3.4年，如果增长率大一倍，则时间就会短一半，如果增长率变小了，则时间也会变长。

有趣！他们的结果都是相同的对么？自然对数可以使用任何的利率和时间，你可以修改任何你想修改的变量。

关于ln（e）

最后给大家一个小小问题看看大家理解了没有呢？即ln（e）是什么意思呢？

数学家可能会回答：因为自然对数是e的逆，所以

看了这篇文章的你可能会回答：ln（e）是获得e倍所需要的时间，而e是单位时间的增长倍数，所以ln（e）=1

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