为什么银行家舍入是合理的？

我们知道银行的盈利渠道主要是利息差，从储户手里收拢资金，然后放贷出去，其间的利息差额便是所获得的利润。对一个银行来说，对付给储户的利息的计算非常频繁。

场景介绍完毕，我们回过头来看四舍五入，小于5的数字被舍去，大于等于5的数字进位加一，由于所有位上的数字都是自然计算出来的，按照概率计算可知，被舍入的数字均匀分布在0到9之间，下面以10笔存款利息计算作为模型，以银行家的身份来思考这个算法：

□ 四舍：舍弃的数值：0.000、0.001、0.002、0.003、0.004，因为是舍弃，对银行家来说，就是不用付款给储户的，那每舍弃一个数字就会赚取相应的金额：0.000、0.001、0.002、0.003、0.004。

□五入：进位的数值：0.005、0.006、0.007、0.008、0.009，因为是进位，对银行家来说，每进一位就会多付款给储户，也就是亏损了，那亏损部分就是其对应的10进制补数

0.005、0.004、0.003、0.002、0.001

因为舍弃和进位的数字是在0到9之间均匀分布的，所以对于银行家来说，每10笔存款的利息因采用四舍五入而获得的盈利是：

0.000 + 0.001 + 0.002 + 0.003 + 0.004 - 0.005 - 0.004 - 0.003 - 0.002 - 0.001 = -0.005

也就是说，每10笔的利息计算中就亏损0.005元，即每笔利息计算损失0.0005元

这个算法误差是由美国银行家发现的，并且对此提出了一个修正算法，叫银行家舍入的近似算法，其规则如下：

□ 舍去位的数值小于5时，直接舍去；

□ 舍去为的数值大于等于6时，进位加一；

□ 当舍入位的数值等于5时，分两种情况：5后面没有其他非0数字，则进位后舍去；若5后面是0（即5是最后一个有效的数字），则根据5前一位数的奇偶性来判断需要进位还是舍去，5前为奇数要进位加一，为偶数要舍弃

问题：为什么银行家舍入是合理的？

四舍六入本身没问题，5前偶舍奇进也没问题，关键在为什么5后有非0数要进位？

遇5舍弃的情况只有一种，即5是最后一位有效的数字且前一位数是偶数

当数值精度达到5后一位，其为0的概率为1/10，5前为偶数的概率是1/2，所以舍5的概率是1/10 * 1/2 = 1/20，而进5的概率是19/20

当数值精度越大，舍5个概率就越低，无限趋近于0，也就是说，当数值精度越高，该算法越像“四舍五入”

那么，为什么这个算法是合理的呢？

现实情况就是数值的精度不可能无限大，存款利息率一般为百分之零点几，而数值精度一般4位，5后存在非0数的概率相对较小，所以趋近于1/2舍5，1/2进5