matrix67提到的google面试题

matrix67在博客中提到一个google面试题，大意是：有一系列的任务，每个任务分为两个阶段，申请阶段和运行阶段，先申请，申请成功之后再运行，两个阶段都需要内存（Ri和Oi），申请阶段需要的内存比运行阶段需要的内存数量要多一些（Ri>Oi），但Ri在申请完之后即释放掉了，而Oi则并不释放。给出总的内存量，问该如何安排任务执行的顺序，使得所以任务都能得到允许。
首先明确一点不是任意顺序都可以满足条件，matrix67也提到了一个反例：比方说，m=14，n=2，R[1]=10，O[1]=5，R[2]=8，O[2]=6。在这个例子中，我们可以先运行第一个任务，剩余9个单位的空间足够执行第二个任务；但如果先走第二个任务，第一个任务执行时空间就不够了，因为10>14-6。
在该文的最后，matrix67大牛给出了一个结论说：只需要按照R值和O值之差（即释放空间的大小）从大到小排序，然后依次做就是了……想到这里开始暴汗，有时候最简单的算法往往是最后才考虑到的。
首先要说，这个结论无疑是正确的，稍后会给出证明。
结果当然很重要，但是我们更希望知道思考的过程。可是大牛好像到目前为止还没有说明如何想到这个方法的。
本人结合大牛的博文以及随后的评论，尝试给出一个思考该问题的过程（尽管有点马后炮的味道）：
先考虑2个任务的情形：如果说只有任务序列1，2是可行的，而2，1是不可行的。也就是说，O1+R2<=m但是O2+R1>m，于是O2+R1>O1+R2，即R1-O1>R2-O2；
在考虑3个任务的情形：只有序列123可行，其余5种情况均不可行（这样的极端情况是存在在的，例如R={16，10，10}， O={5,6,7}），那么：
方案1：132不可行=>R2-O2>R3-O3；
方案2：213不可行=>R1-O1>R2-O2；
方案3：312不可行=>R1-O1>R3-O3或者R2-O2>R3-O3；
方案4：231不可行=>R1-O1>R3-O3；
方案5：312不可行=>R1-O1>R3-O3或者R2-O2>R3-O3；
综上可得极端情况出现时，R1-O1>R2-O2并且R2-O2>R3-O3并且R2-O2>R3-O3是必要条件，于是我们可以比较合理归纳出一个方法也就是：在序列中靠前的R-O的值应该比靠后的R-O的值要大，从而可以得出大牛给出的那个结论。
下面证明这个方法的正确性：
首先我们有：对于任何一个合法的序列i1，i2。。。in（其为1，2。。。n的一个排列），若其中存在两个相邻的任务ik和ik+1，但是有R（ik)-O(iK)<R(ik+1)-O(ik+1)，我们可以证明将该两任务调换顺序（也就是让R-O值较大的任务在前），仍然为一合法序列。
显然ik之前的任务不会受顺序调换的影响，同样ik+1之后的任务也不会受其影响。于是考虑ik和ik+1是否能安排的下去，因为将ik+1向前了一个位置，它的运行环境宽松了一些，当然能够得到运行。问题是任务ik能否得到运行，假设在任务运行i之后还剩m的内存，此时也就是问m>O(ik+1)+R(ik)是否成立。由假设因为顺序ik,ik+1合法，于是有m>O(ik)+R(ik+1)合法，又因为R（ik)-O(iK)<R(ik+1)-O(ik+1)=>O(ik)+R(ik+1)>O(ik+1)+R(ik)，于是m&gt;O(ik+1)+R(ik)自然也就成立了。
于是证明了，将合法序列中相邻位置的R-O值较大者换到前面，仍然可以得到合法序列。使用类似冒泡排序的方法，则可以获得一个合法序列，其R-O成降序。也就是说如果存在解，则该方法必然可以获得一个合法解，同样在该方法的试探过程中如果发现无法继续（在降序的前提下，出现了某个x使得O(i1)+O(i2)+...+O(ix-1)+R(ix)>m）则可以认定无解。