【笔记】二叉排序树

  二叉排序树也称为二叉查找树。二叉排序树的查找是一种常用的动态查找方法。

1.二叉排序树的定义

  二叉排序树或者是一棵空二叉树，或者二叉树具有下列性质：

1. 如果二叉树的左子树不为空，则左子树上的每一个结点的值均小于其对应根结点的值。
2. 如果二叉树的右子树不为空，则右子树上的每一个结点的值均大于其对应根结点的值。
3. 该二叉树的左子树和右子树也满足性质1和性质2，即左子树和右子树也是一棵二叉排序树。

• 类型定义

typedef int KeyType;typedef struct      /*元素的定义*/{    KeyType key;}DataType;typedef struct Node /*二叉排序树的类型定义*/{    DataType data;    struct Node *lchild,*rchild;}BiTreeNode,*BiTree;

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2.二叉排序树的查找

  二叉排序树中每个结点的值都大于其所有左子树结点的值，而小于其所有右子树中结点的值，如果要查找与二叉树中某个关键字相等的结点，可以从根结点开始，与给定的关键字比较，如果相等，则查找成功；如果关键字小于根结点的值，则在其左子树中查找；如果给定的关键字大于根结点的值，则在其右子树中查找。

  在二叉排序树的查找过程中，查找某个结点的过程正好是走了从根结点到要查找结点的路径，其比较次数正好是路径长度+1，这类似于折半查找，与折半查找不同的是由n个结点构成的判定树是唯一的，而由n个结点构成的二叉排序树则不唯一。

BiTree BSTSearch(BiTree T,DataType x)/*二叉排序树的查找，如果找到元素x，则返回指向结点的指针，否则返回NULL*/{    BiTreeNode *p;    if(T!=NULL)                     /*如果二叉排序树不为空*/    {        p=T;        while(p!=NULL)        {            if(p->data.key==x.key)  /*如果找到，则返回指向该结点的指针*/                return p;            else if(x.key<p->data.key)  /*如果关键字小于p指向的结点的值，则在左子树中查找*/                p=p->lchild;            else                p=p->rchild;    /*如果关键字大于p指向的结点的值，则在右子树中查找*/        }    }    return NULL;}

• 二叉排序树的插入

  二叉排序树的结构不是一次生成的，而是在查找的过程中，当树中不存在关键字等于给定值结点时再进行插入。新插入的即诶但那一定是一个新添加的叶子结点，并且是查找不成功时查找路径上访问的最后一个结点的左孩子结点或右孩子结点。因此二叉排序树的插入操作过程其实就是二叉排序树的建立过程。
  算法实现过程中，需要设置一个指向下一个要访问结点的双亲结点指针parent，记下前驱结点的位置，以便在查找失败时进行插入操作。若在二叉树中查找x结束后返回NULL，说明查找失败，需要将x插入二叉排序树；若parent−>data.key<x.key，则需要将parent的左指针指向x，使x成为parent的左孩子结点；若parent−>data.key>x.key，则需要将parent的右指针指向x，使x成为parent的右孩子结点；若二叉排序树为空树，则使x称为根结点。

  因此构造二叉排序树的过程就是对一个无序的序列排序的过程，且每次插入结点都是叶子结点，在二叉排序树中的插入操作过程中，不需要移动结点，仅需要移动结点指针，实现较为容易。

int BSTInsert(BiTree *T,DataType x)/*二叉排序树的插入操作，如果树中不存在元素x，则将x插入到正确的位置并返回1，否则返回0*/{    BiTreeNode *p,*cur,*parent=NULL;    cur=*T;    while(cur!=NULL)    {        if(cur->data.key==x.key)    /*如果二叉树中存在元素为x的结点，则返回0*/            return 0;        parent=cur;             /*parent指向cur的前驱结点*/        if(x.key<cur->data.key)     /*如果关键字小于p指向的结点的值，则在左子树中查找*/            cur=cur->lchild;        else            cur=cur->rchild;            /*如果关键字大于p指向的结点的值，则在右子树中查找*/    }    p=(BiTreeNode*)malloc(sizeof(BiTreeNode));  /*生成结点*/    if(!p)        exit(-1);    p->data=x;    p->lchild=NULL;    p->rchild=NULL;    if(!parent)                     /*如果二叉树为空，则第一结点成为根结点*/        *T=p;    else if(x.key<parent->data.key)     /*如果关键字小于parent指向的结点，则将x成为parent的左孩子*/        parent->lchild=p;    else                            /*如果关键字大于parent指向的结点，则将x成为parent的右孩子*/        parent->rchild=p;    return 1;   }

4.二叉排序树的删除

  对于二叉树来说，删除树中的一个结点其实是删除有序序列的一个记录，只要在删除某个结点之后依旧保持二叉树的特性即可。
  假设要删除的结点由指针s指示，指针p指向s的双亲结点，设s为f的左孩子结点。删除一个结点分为如下3种情况讨论：

1. 如果s指向的结点为叶子结点，其左子树和右子树为空，删除叶子不会影响到树的结构特性，因此只需要修改p的指针即可。
2. 如果s指向的结点只有左子树或只有右子树，在删除了结点*s后，只需要将s的左子树sL或右子树sR作为f的左孩子，即p−>lchild=s−>child或p−>lchild=s−>rchild。
3. 若s存在左子树和右子树，在删除结点T之前，二叉排序树的中序序列为{…QLQ…XLXYLYTTRP…}，因此在删除了结点S之后，使该二叉树仍然保持原来的性质不变的调整方法有两种：一种是使结点T的左子树作为结点P的左子树，结点T的右子树作为结点Y的右子树；另一种是使结点T的直接前驱取代结点T，并删除T的直接前驱结点Y，然后令结点Y原来的左子树作为结点X的右子树。

int BSTDelete(BiTree *T,DataType x)/*在二叉排序树T中存在值为x的数据元素时，删除该数据元素结点，并返回1，否则返回0 */{     if(!*T)                         /*如果不存在值为x的数据元素，则返回0*/        return 0;    else    {        if(x.key==(*T)->data.key)           /*如果找到值为x的数据元素，则删除该结点*/            DeleteNode(T);        else if((*T)->data.key>x.key)   /*如果当前元素值大于x的值，则在该结点的左子树中查找并删除之*/            BSTDelete(&(*T)->lchild,x);        else                        /*如果当前元素值小于x的值，则在该结点的右子树中查找并删除之*/            BSTDelete(&(*T)->rchild,x);        return 1;    }}void DeleteNode(BiTree *s)/*从二叉排序树中删除结点s，并使该二叉排序树性质不变*/{     BiTree q,x,y;    if(!(*s)->rchild)       /*如果s的右子树为空，则使s的左子树成为被删结点双亲结点的左子树*/    {        q=*s;        *s=(*s)->lchild;        free(q);    }    else if(!(*s)->lchild)  /*如果s的左子树为空，则使s的右子树成为被删结点双亲结点的左子树*/    {        q=*s;        *s=(*s)->rchild;        free(q);    }    else                        /*如果s的左、右子树都存在，则使s的直接前驱结点代替s，并使其直接前驱结点的左子树成为其双亲结点的右子树结点*/    {        x=*s;        y=(*s)->lchild;        while(y->rchild)    /*查找s的直接前驱结点，y为s的直接前驱结点，x为y的双亲结点*/        {            x=y;            y=y->rchild;        }        (*s)->data=y->data;         /*结点s被y取代*/        if(x!=*s)               /*如果结点s的左孩子结点不存在右子树*/            x->rchild=y->lchild; /*使y的左子树成为x的右子树*/        else                    /*如果结点s的左孩子结点存在右子树*/            x->lchild=y->lchild;    /*使y的左子树成为x的左子树*/        free(y);    }}

  通过调用Delete(T)来完成删除当前结点的操作，而函数BSTDelete(&(*T)->lchild,x)和BSTDelete(&*T->rchild,x)则是实现在删除结点后，利用参数T->lchild和T->rchild完成连接左子树和右子树，使二叉排序树性质保持不变。

5.二叉排序树应用举例

  利用二叉树的插入算法创建一棵二叉排序树，然后输入一个元素，查找该元素是否存在，最后输出这棵树的中序序列。

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<malloc.h>void DeleteNode(BiTree *s);int BSTDelete(BiTree *T,DataType x);void InOrderTraverse(BiTree T);BiTree BSTSearch(BiTree T,DataType x);int BSTInsert(BiTree *T,DataType x);void main(){    BiTree T=NULL,p;    DataType table[]={55,43,66,88,18,80,33,21,72};    int n=sizeof(table)/sizeof(table[0]);    DataType x={80},s={18};    int i;    for(i=0;i<n;i++)        BSTInsert(&T,table[i]);    printf("关键字序列为：");    for(i=0;i<n;i++)        printf("%4d",table[i]);    printf("\n");    printf("中序遍历二叉排序树得到的序列为：\n");    InOrderTraverse(T);    p=BSTSearch(T,x);    if(p!=NULL)        printf("\n二叉排序树查找:元素关键字%d查找成功.\n",x);    else        printf("\n二叉排序树查找:没有找到元素%d.\n",x);    BSTDelete(&T,s);    printf("删除元素%d后，中序遍历二叉排序树得到的序列为：\n",s.key);    InOrderTraverse(T);    printf("\n");}void InOrderTraverse(BiTree T)/*中序遍历二叉排序树的递归实现*/{    if(T)                               /*如果二叉排序树不为空*/    {        InOrderTraverse(T->lchild);     /*中序遍历左子树*/        printf("%4d",T->data);          /*访问根结点*/        InOrderTraverse(T->rchild);         /*中序遍历右子树*/    }}

• 测试结果