机器学习笔记（二） 单变量线性回归

1.训练集

   有训练样例(training example)组成的集合就是训练集。

   如上图所示，右边两列数据就是训练集。一个（x，y）就是一个训练样例。我们用一些特定的字母表示术语：

2.假设函数（Hypothesis Function）

     

   假设函数由训练集和学习算法可以得到，标记是h。如上图所示，通过训练集和学习算法，我们的假设函数可以用房屋面积去计算得到房屋的大致估价。

   那么该怎么表示假设函数h？

   在房屋的这个例子中，只有一个变量就是房屋的面积，我们的假设函数可以表达为：h(x)=θ0+θ1 X 。这个就叫做单变量的线性回归。

3.代价函数

   在这个假设函数中，有两个参数θ0和θ1。如果两个参数θ0和θ1的取值不相同，我们的假设函数会有不同的效果。

   这两个参数在选择的过程中，要使得每个样例的估计值与真实值之间的差的平方的均值最小，在上例中，就是选择θ0和θ1，对训练样例（x，y），h(x)最接近y。这是代价函数的公式。

   

   

   我们在分析的过程中，可以令θ0为0，简化代价函数。此时假设函数为h(x)=θ1 X。

   再令θ1=1，h(x)=x，假设函数如下图左，三个红叉代表训练样例，计算得到J(θ)=0，在右图中表示出来就是（1,0）。

   重复上面的步骤，令θ1=0.5，计算h(θ)，J(θ)。

   对不同的θ1，可以得到不同的假设函数h(θ)，于是便有不同的J(θ)的值，我们把得到的结果连起来。当θ1等于1的时候，J(θ)的值最小，目标达成。

   以上的结果是在令θ0=0的情况下得到的，但是θ0不等于0呢？比如说，取θ0等于0.5，这时就有两个变量，自然地，J(θ0，θ1）是一个曲面。

   我们可以用等高线代替对3维图像的分析，往里走代表J（θ0，θ1）的值小。编写程序，不断利用程序去调整，找到最佳的h(θ)，最佳的θ0和θ1，使得J（θ0，θ1）的值最小。

3.梯度下降算法(Gradient Descent)

   想要找到合适的θ0，θ1，可以先以某一个具体的θ0和θ1开始，不断改变值的大小，使J得值不断减小，直到找到一个最小值。如下图所示，从某一点开始，每次沿着一定的梯度下降直到达到一个极小值为止。梯度下降和下山一样，坡度不一样，下降的速度就不一样，而且有可能走向不同的最低点。下降梯度算法可以帮助我们改变θ0，θ1的值。（α称为学习率，后面的偏导是梯度）

   这里要特别注意的是，θ0，θ1的值是同时改变的，如果想右边所示改变就出现错误。

   令θ0=0，假设θ1在最低点的右侧，此时梯度是正数，根据梯度下降算法更新θ1，它的值会不断减小，靠近最低点。

  

   同理假设θ1在最低点的左侧，此时梯度是一个负数，根据算法更新θ1，值会增大，靠近最低点。

   如果一开始θ1在最合适的位置，根据算法更新时，值不会有改动。

   学习率α会影响梯度的下降。α太小，θ的变化会很小，梯度下降会很慢。相反，α太大，θ的变化会很大，可能越过最低点，可能永远没法达到最低点。

   但是如果越来越接近最低点，那么斜率会逐渐减小，每次下降程度会越来越小，所以不需要改变α的值来减小下降程度。

   我们把梯度下降算法应用到线性回归模型中去，其中关键的一个步骤就是计算其中的偏导数项。

   

   可以得到如下结果（梯度下降算法）：

   简要看下梯度下降算法的迭代过程：

   

   最终得到最优解，我们可以用最优解对应的假设函数对房价进行预测。比如说，1250平方英尺的房子大约能卖到270k美元，如下图：