数论学习：分数循环节长度

分数的循环节

令r⊥s且0<r<s,对于分数

rs=0.c1c2c3...

的b进位制形式。有时候会出现循环情况。即：

存在一个n,k有：

ci+k=ci  ,其中：i>n , 0<ci<b

那么何时会出现循环。何时又不会呢？

显然：

α=rs=c1b1+c2b2+c3b3......

如果α不是循环的,那么必然存在一个数字n有：

αbn=c1c2c3..cn

显然：s∣bn

这也就是说。每一个整除s的素因子也整出b.

那么符合上述条件的。最小的n必然是最小的。使得s∣bn的n

即：当整除s的每一个素数都整除b时；

则：α的b进制展开。小数点后面的长度为n，其中：n为最小的使得s∣bn的数。

下面证明n是其长度。

如果α的展开长度为n+l.那么有：

αbn=∑i=1ncibn−i+∑i=1lcn+ibi

因为s∣bn,所以αbn为整数。矛盾。得证。

如果α是循环的。

记：s=cd 且d⊥b，c的每一个素因子也是b的素因子。

这也就是说，c是满足c的每一个素因子都是b的且是最大的

令n为：c∣bn最小的n

令hc=bn

bn×rs=hrd

令

A+ed=hrd

显然e⊥d,这是因为：e=hr mod d且r⊥d且b⊥d

显然d=1时。α不循环。

当d>1时。

ed

必然循环。因为不存在整数 v使得d∣bv

现在计算循环节长度。

因为：

A+ed=bn∑i≥1cibi=∑i≥1cibn−i+bn∑i>ncibi

因为

bn∑i>ncibi<1

所以：

ed=bn∑i>ncibi

令：v=orddb,即v为b模d意义的阶。(d⊥b)

则：

bv=td+1

则：

bved=(td+1)ed=te+ed=bn+v∑i>ncibi=∑i=n+1n+vcibn+v−i+bn+v∑i>n+vcibi=∑i=n+1n+vcibn+v−i+bn∑i>nci+vbi

所以：

bn∑i>ncibi=bn∑i>nci+vbi

所以：

ci=ci+v

现在证明：n是自小预循环（证明了这一点自然而然就证明了v为最小循环节）

假设，存在更小的预循环m,且此时最小循环节为k.则：

α=c1b1+c2b2+..+cmbm+∑j≥01bjk(cm+1bm+1+...+cm+kbm+k)

∑j≥01bjk=∑j≥0(−1bk)j(−1j)=11−1bk=bkbk−1

α=c1b1+c2b2+..+cmbm+bkbk−1(cm+1bm+1+...+cm+kbm+k)=c1bm−1+c2bm−2+...cmb0+cm+1bk−1+cm+2bk−2+...+cm+kb0bm(bk−1)=rcd

因为d⊥b。所以c∣bm,这于n的定义矛盾。

所以此时α的循环节为orddb,预循环节为n.