二叉排序树

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二叉排序树的定义
二叉排序树，也称为二叉查找树。
二叉排序树要么是空树，要么是具有以下特征的非空二叉树：
·若左子树非空，则左子树上所有结点关键字值均小于根结点的关键字值
·若右子树非空，则右子树上所有结点关键字值均大于根结点的关键字值
·左右子树本身也是一颗二叉排序树

根据二叉排序树的定义，有左子树结点值<根结点值<右子树结点值
因此，如果对二叉排序树进行中序遍历，可以得到一个递增的序列

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二叉排序树的查找
二叉排序树的查找是从根结点开始，沿某一个分支逐层向下进行比较的过程。若二叉排序树非空，将给定值与根结点的关键字比较，若相等，则查找成功；若不等，则当根结点的关键字大于给定关键字时，在根结点的左子树中查找，否则在根结点的右子树中查找。

//二叉排序树的非递归查找算法BSTNode *BST_Search(BiTree T,ElemType key,BSTNode *&p){    //查找函数返回指向关键字为key的节点指针，若不存在，则返回NULL    p=NULL;while(T!=NULL&&key!=T->data){        p=T;        if(key<T->data)            T=T->lchild;        else            T=T->rchild;    }    return T;}

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二叉排序树的插入
二叉树作为一种动态集合，其特点是树的结构不是一次生成的，而是在查找过程中，当树中不存在关键字等于给定值的结点时再进行插入
由于二叉排序树是递归定义，插入结点的过程是，若原二叉排序树为空，则直接插入结点。若关键字k小于根结点关键字，则插入到左子树中，若关键字k大于根结点关键字，则插入到右结点中。

int BST_Insert(BiTree &T,KeyType k){    if(T==NULL){        T=(BiTree)malloc(sizeof(BSTNode));        T->data=k;        T->lchild=T->rchild=NULL;        return 1;        }    else    if(T->data=k)        return 0;    else if(T->data>k)    //左子树中插入        return BST_Insert(T->lchild,k);    else if(T->data<k)   //右子树中插入        return BST_Insert(T->rchild,k);    }

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二叉排序树的构造
构造一颗二叉排序树就是依次输入数据元素，并将它们插入到二叉排序树中的适当位置上的过程。具体过程是，每读入一个元素，就建立一个结点，若二叉排序树非空，则将新节点的值与根结点的比较，如果小于根结点，插入到左子树中，否则插入到右子树中；
若二叉排序树为空，则新节点作为二叉排序树的根结点

void Create_BST(BiTree &T,KeyTypestr [],int n){    //用关键字数组str [] 建立一个二叉排序树    T=NULL;    int i=0;    while(i<n){   //依次读入元素        BST_Insert(T,str[i]);        i++;    }}

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二叉排序树的删除
删除操作有三种情况：
1.如果被删除结点z是叶结点，直接进行删除操作即可
2.如果结点z只有一颗左子树或右子树，则让z的子树成为z父结点的子树
3.如果结点z有左右两颗子树，则令z的直接后继（或直接前驱）替代z，然后从二叉排序树中删除这个直接后继（或直接前驱），转换成第一或第二种情况。（中序遍历的下一个）（不断取左子树的最大或者右子树的最小递归删除）

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二叉排序树的查找效率分析
对于高度为H的二叉排序树，其插入和删除操作的运行时间都是O(H).
但在最坏的情况下，即构造二叉排序树的输入序列是有序的，则会形成一个倾斜的二叉树，高度也增加为元素个数N

二叉排序树查找算法的平均查找长度，主要取决于树的高度，即与二叉树的形态有关。
如果二叉排序树是只有左（右）孩子的二叉树，算法复杂度为O(n).如果是平衡二叉树，算法复杂度为O（log2n）

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