【笔记】平衡二叉树
来源:互联网 发布:软件开发工作量报价 编辑:程序博客网 时间:2024/06/08 02:19
若二叉排序树的深度为n,在最坏的情况下平均查找长度为n,为了减少二叉排序树的查找次数,需要对二叉排序树进行平衡化处理,平衡化处理后得到的二叉树称为平衡二叉树。
1.平衡二叉树的定义
平衡二叉树又称为AVL树,它或者是一棵空树,或者左子树和右子树都是平衡二叉树,且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。
若将二叉树中结点的平衡因子BF定义为结点的左子树的深度和右子树的深度,则平衡二叉树中每个结点平衡因子只可能是-1、0、1。如下图为两棵平衡二叉树,结点的右边数值表示平衡因子,因为该二叉树既是二叉排序树又是平衡树,因此其为平衡二叉树。
只要二叉树上有一个结点的平衡因子的绝对值大于1,则该二叉树就是不平衡的,如下图所示。
如果二叉排序树是平衡二叉树,则其平均查找长度与
2.二叉排序树的平衡处理
假设有一个关键字序列{5,34,45,76,65},依照此关键字序列建立二叉排序树,且使该二叉排序树是平衡二叉排序树,构造过程如下图所示。
一般情况下,假设由于在二叉排序树上插入结点而失去平衡的最小子树根结点的指针为a(即a是里插入结点最近,且平衡因子绝对值超过1的祖先结点),则失去平衡后进行调整的规律可归纳为下列4种情况:
1.单向右旋平衡处理:由于在*a的左子树根结点的左子树上插入结点,*a的平衡因子由1增至2,致使以*a为根的子树失去平衡,则需进行一次向右的顺时针旋转操作;
2.单向左旋平衡处理:由于在*a的右子树根结点的右子树插入结点,*a的平衡因子由-1变成-2,致使以*a为根结点的子树失去平衡,则需进行一次向左的逆时针操作;
3.双向旋转(先左后右)平衡处理:由于在*a的左子树结点的右子树上插入结点,*a的平衡因子由1增至2,致使以*a为根结点的子树失去平衡,则需进行两次旋转操作(先左旋后右旋);
4.双向旋转(先右后左)平衡处理:由于在*a的右子树根结点的左子树上插入结点,*a的平衡因子由-1变成-2,致使以*a为根结点的子树失去平衡,则需进行两次旋转操作(先右旋后左旋)。
上述4种情况中,1和2对称,3和4对称。旋转操作的正确性容易由“保持二叉排序树的特性:中序遍历所得关键字序列自小至大有序”证明。无论哪一种情况,在经过平衡旋转处理之后,以*b或*c为根的新子树为平衡二叉树,而且它的深度和插入之前以*a为根的子树相同。因此当平衡的二叉排序树因插入结点而失去平衡时,仅需对最小不平衡子树进行平衡旋转处理即可。因为经过旋转处理之后的子树深度和插入之前相同,因而不影响插入路径上所有祖先结点的平衡度。
在平衡二叉排序树BBST上插入一个新的数据元素e的递归算法可描述如下:
- BBST为空树,则插入一个数据元素为e的新结点作为BBST的根结点,树的深度增1;
- 若e的关键字和BBST的根结点的关键字相等,则不进行插入;
- 若e的关键字小于BBST的根结点的关键字,而且在BBST的左子树中不存在和e有相同关键字的结点,则将e插入在BBST 的左子树上,并且当插入之后的左子树深度增加时,分别就下列不同情况处理:
(1)BBST的根结点的平衡因子为-1:则将根结点的平衡因子更改为0,BBST的深度不变;
(2)BBST的根结点的平衡因子为0:则将根结点的平衡因子更改为1,BBST的深度增1;
(3)BBST的根结点的平衡因子为1:若BBST的左子树根结点的平衡因子为1,则需进行单向右旋平衡处理,并且在右旋处理之后,将根结点和其右子树根结点的平衡因子更改为0,树的深度不变。
若BBST的左子树根结点的平衡因子为-1,则需进行先向左、后向右的双向旋转平衡处理,并且在旋转处理之后,修改根结点和其左、右子树根结点的平衡因子,树的深度不变;- 若e的关键字大于BBST的根结点的关键字,而且在BBST的右子树中不睬做和e有相同关键字的即诶但那,则将e插入在BBST的右子树上,并且当出入之后的右子树深度增加时,分别就不同情况处理。其处理操作和3中所述相对称。
3.平衡二叉树的实现
- 类型定义
#define LH +1 /* 左高 */ #define EH 0 /* 等高 */ #define RH -1 /* 右高 */ typedef struct BSTNode { ElemType data; int bf; /* 结点的平衡因子 */ struct BSTNode *lchild,*rchild; /* 左、右孩子指针 */ }BSTNode,*BSTree;
- 初始化查找表
Status InitDSTable(BSTree *DT) { /* 操作结果: 构造一个空的动态查找表DT */ *DT=NULL; return OK; }
- 销毁查找表
void DestroyDSTable(BSTree *DT) { /* 初始条件: 动态查找表DT存在。操作结果: 销毁动态查找表DT */ if(*DT) /* 非空树 */ { if((*DT)->lchild) /* 有左孩子 */ DestroyDSTable(&(*DT)->lchild); /* 销毁左孩子子树 */ if((*DT)->rchild) /* 有右孩子 */ DestroyDSTable(&(*DT)->rchild); /* 销毁右孩子子树 */ free(*DT); /* 释放根结点 */ *DT=NULL; /* 空指针赋0 */ } }
- 查找操作
BSTree SearchBST(BSTree T,KeyType key) { /* 在根指针T所指二叉排序树中递归地查找某关键字等于key的数据元素, */ /* 若查找成功,则返回指向该数据元素结点的指针,否则返回空指针。 */ if((!T)||EQ(key,T->data.key)) return T; /* 查找结束 */ else if LT(key,T->data.key) /* 在左子树中继续查找 */ return SearchBST(T->lchild,key); else return SearchBST(T->rchild,key); /* 在右子树中继续查找 */ }
- 遍历操作
void TraverseDSTable(BSTree DT,void(*Visit)(ElemType)) { /* 初始条件: 动态查找表DT存在,Visit是对结点操作的应用函数 */ /* 操作结果: 按关键字的顺序对DT的每个结点调用函数Visit()一次且至多一次 */ if(DT) { TraverseDSTable(DT->lchild,Visit); /* 先中序遍历左子树 */ Visit(DT->data); /* 再访问根结点 */ TraverseDSTable(DT->rchild,Visit); /* 最后中序遍历右子树 */ } }
- 插入操作
Status InsertAVL(BSTree *T,ElemType e,Status *taller) { /* 若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点,则插入一个 */ /* 数据元素为e的新结点,并返回1,否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */ /* 失去平衡,则作平衡旋转处理,布尔变量taller反映T长高与否。 */ if(!*T) { /* 插入新结点,树“长高”,置taller为TRUE */ *T=(BSTree)malloc(sizeof(BSTNode)); (*T)->data=e; (*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL; (*T)->bf=EH; *taller=TRUE; } else { if EQ(e.key,(*T)->data.key) { /* 树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */ *taller=FALSE; return FALSE; } if LT(e.key,(*T)->data.key) { /* 应继续在*T的左子树中进行搜索 */ if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) /* 未插入 */ return FALSE; if(*taller) /* 已插入到*T的左子树中且左子树“长高” */ switch((*T)->bf) /* 检查*T的平衡度 */ { case LH: /* 原本左子树比右子树高,需要作左平衡处理 */ LeftBalance(T); *taller=FALSE; break; case EH: /* 原本左、右子树等高,现因左子树增高而使树增高 */ (*T)->bf=LH; *taller=TRUE; break; case RH: (*T)->bf=EH; /* 原本右子树比左子树高,现左、右子树等高 */ *taller=FALSE; } } else { /* 应继续在*T的右子树中进行搜索 */ if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) /* 未插入 */ return FALSE; if(*taller) /* 已插入到T的右子树且右子树“长高” */ switch((*T)->bf) /* 检查T的平衡度 */ { case LH: (*T)->bf=EH; /* 原本左子树比右子树高,现左、右子树等高 */ *taller=FALSE; break; case EH: /* 原本左、右子树等高,现因右子树增高而使树增高 */ (*T)->bf=RH; *taller=TRUE; break; case RH: /* 原本右子树比左子树高,需要作右平衡处理 */ RightBalance(T); *taller=FALSE; } } } return TRUE; }
- 右旋操作
void R_Rotate(BSTree *p) { /* 对以*p为根的二叉排序树作右旋处理,处理之后p指向新的树根结点,即旋转 */ /* 处理之前的左子树的根结点。 */ BSTree lc; lc=(*p)->lchild; /* lc指向p的左子树根结点 */ (*p)->lchild=lc->rchild; /* lc的右子树挂接为p的左子树 */ lc->rchild=*p; *p=lc; /* p指向新的根结点 */ }
- 右平衡旋转操作
void RightBalance(BSTree *T) { /* 对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理,本算法结束时, */ /* 指针T指向新的根结点 */ BSTree rc,rd; rc=(*T)->rchild; /* rc指向*T的右子树根结点 */ switch(rc->bf) { /* 检查*T的右子树的平衡度,并作相应平衡处理 */ case RH: /* 新结点插入在*T的右孩子的右子树上,要作单左旋处理 */ (*T)->bf=rc->bf=EH; L_Rotate(T); break; case LH: /* 新结点插入在*T的右孩子的左子树上,要作双旋处理 */ rd=rc->lchild; /* rd指向*T的右孩子的左子树根 */ switch(rd->bf) { /* 修改*T及其右孩子的平衡因子 */ case RH: (*T)->bf=LH; rc->bf=EH; break; case EH: (*T)->bf=rc->bf=EH; break; case LH: (*T)->bf=EH; rc->bf=RH; } rd->bf=EH; R_Rotate(&(*T)->rchild); /* 对*T的右子树作右旋平衡处理 */ L_Rotate(T); /* 对*T作左旋平衡处理 */ } }
- 左旋操作
void L_Rotate(BSTree *p) { /* 对以*p为根的二叉排序树作左旋处理,处理之后p指向新的树根结点,即旋转 */ /* 处理之前的右子树的根结点。 */ BSTree rc; rc=(*p)->rchild; /* rc指向p的右子树根结点 */ (*p)->rchild=rc->lchild; /* rc的左子树挂接为p的右子树 */ rc->lchild=*p; *p=rc; /* p指向新的根结点 */ }
- 左平衡旋转操作
void LeftBalance(BSTree *T) { /* 对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理,本算法结束时, */ /* 指针T指向新的根结点。 */ BSTree lc,rd; lc=(*T)->lchild; /* lc指向*T的左子树根结点 */ switch(lc->bf) { /* 检查*T的左子树的平衡度,并作相应平衡处理 */ case LH: /* 新结点插入在*T的左孩子的左子树上,要作单右旋处理 */ (*T)->bf=lc->bf=EH; R_Rotate(T); break; case RH: /* 新结点插入在*T的左孩子的右子树上,要作双旋处理 */ rd=lc->rchild; /* rd指向*T的左孩子的右子树根 */ switch(rd->bf) { /* 修改*T及其左孩子的平衡因子 */ case LH: (*T)->bf=RH; lc->bf=EH; break; case EH: (*T)->bf=lc->bf=EH; break; case RH: (*T)->bf=EH; lc->bf=LH; } rd->bf=EH; L_Rotate(&(*T)->lchild); /* 对*T的左子树作左旋平衡处理 */ R_Rotate(T); /* 对*T作右旋平衡处理 */ } }
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