机器学习笔记（四） 多变量线性回归

1.多维特征

   以前我们谈到的变量只有一个，单个特征的训练样本，单个特征的表达式。

   以房价的预测举例，特征除了房屋的大小，还可以有房间数，楼层数，房龄等特征。

   一些特殊字母的定义：

   

   假设函数不再是单变量线性回归时的函数：hθ(x)=θ0+θ1x

   而是：hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn

   为了方便，我们令x0=1，那么公式就可以写为：hθ(x)=θTx   （θ和x都是向量，这里是θ的转置）

2.多变量线性回归的梯度下降

   假设函数：hθ(x)=θTx=θ0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn

   代价函数：J(θ)=J(θ0,θ1,...,θn)=1/2m ∑(hθ(x(i))−y(i))2

   梯度下降算法：

   对J（θ）求导，可以得：

   n=1时，单变量梯度下降算法：

   n>1时，多变量梯度下降算法：

3.梯度下降实践1：特征缩放

   目的：确保特征在一个相近的范围内。

   还是以房价的问题举例：

   对应的J(θ）如下，在进行梯度下降的时候，梯度的方向偏离最小值，走很多弯路。

   特征归一化：除以每组特征的最大值。

   得到J（θ）如下，每一步梯度的方向基本指向最小值。

   

   我们的目标是使每一个特征值都近似落在【-1,1】之间，当然是近似，在接近的范围内基本上都可以接收，但是范围太大不行。

   均值归一化：用Xi-Ui代替Xi，使特征的近似值为0，X0=1我们不需要处理。均值归一化的公式是：xi←（xi−μi）/Si 。（Si是特征值的取值范围，最大值-最小值）

   上例用均值归一化计算：

4.梯度下降实践2：步长的选择

   

   上面是梯度下降算法，我们需要注意的是两个问题：

  （1）如何确保下降梯度算法正确工作；

  （2）如何选择正确的步长α；

    正确的步长很重要，他可以确保梯度下降收敛的关键点。保证梯度下降算法正确运行，需要保证J（θ）在每一步迭代中减小，如果减小的值小于很小的值ϵ，则收敛。

   

   如果梯度下降算法不能正常运行，就考虑用更小的步长α，但是如果α的值太小，梯度下降算法收敛会非常慢。

   总结一下，就是：

   （1）α太小，收敛速度太慢；

   （2）α太大，不能保证每一次迭代J（θ）会减小，也不能保证J（θ）会收敛。

   怎么选择α？我们有个经验：0.001，0.003，0.01，0.03，0.1，0.3，1.............后一个数约是前面一个数的三倍。

5.多项式回归

   继续以房价预测的问题举例：

   特征x1：frontage（宽度）；特征x2：depth（深度）

   x1、x2也可以用一个特征值表示：area=frontage*depth（即h(x)=θ0+θ1 X，X是面积）。

   多项式回归：

   像下图，我们并不能用线性回归很好的拟合给定的样本点，所以可以采用多项式回归。

   对特征的选择，除了可以n次方外，也可以开根号，

   

6.正规方程

   背景：

   在微积分里，一元情况下，J(θ)=a*θ*θ+b*θ+c

   求导，令导数为零，dJ(θ)/dθ=...=0，即可得到θ。

   多变量线性回归中，求解思路相同：

   举个例子，接下来分析一个有四组特征的房价预测问题：（这里向量X0内元素值都为1）

   其中X是一个m*（n+1）的矩阵，y是m维的向量：

   我们可以得到正规方程：（这里直接给出了正规方程，并未给出如何得到，具体要查看线性代数里的知识）

   

   m个样本，n个特征，我们该如何选择梯度下降和正规方程？这两种方式都有自己的优缺点：

   梯度下降：

   需要选择合适的学习率α；

   迭代的次数非常多；

   n的数目比较大时，效果依然很好；

   时间复杂度是O (kn2)；

   正规方程：

   不需要选择α；

   不需要迭代，一次就可以计算完成；

   n比较大时，会很慢；

   需要计算(XTX)−1，时间复杂度是O(n3）；

7.矩阵不可逆的情况

   对于正规方程，若是(XTX)不可逆怎么办？出现这个情况有以下原因。

   （1）两个特征之间有着非常大的相关性，解决方法是去掉冗余的特征；

   （2）特征过多，比如说m<=n，解决方法是删掉一些特征。