平衡二叉树

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平衡二叉树的定义
为了避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，规定在插入和删除二叉树结点时，要保证任意结点的左右子树高度差的绝对值不超过1，将这样的二叉树称为平衡二叉树，简称平衡树(AVL树)。

平衡因子
定义结点的左子树与右子树的高度差为该结点的平衡因子，则平衡二叉树结点的平衡因子只可能为-1,0,1。

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平衡二叉树的插入
二叉排序树保证平衡的基本思想：每当在二叉排序树中插入（或删除）一个结点时，首先要检查其插入路径上的结点是否因为此次操作导致了不平衡。如果导致了不平衡，则先要找到插入路径上离插入结点最近的平衡因子绝对值大于1的结点，再对A为根的子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整各结点的位置关系，使之重新达到平衡。

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失衡调整规律
1.LL平衡旋转（右单旋转）
由于在结点A的左孩子B（L）的左子树BL（L）上插入了新结点，该结点的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要进行一次向右的旋转操作。
将A的左孩子向右上旋转成为根结点，将A结点向右下旋转称为B的右子树的根结点，而B的原右子树BR成为A结点的左子树。

2.RR平衡旋转
由于在结点A的右孩子B（R）的右子树BR（R）上插入了新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要进行一次向左的旋转操作。
将A的右孩子B向左上旋转成为根结点，将A结点向左下旋转成为B的左子树根结点，将B的原左子树作为A结点的右子树。

3.LR平衡旋转（先左后右双旋转）
由于在A的左孩子B（L）的右子树BR（R）上插入新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先左旋转后右旋转。
先将A的左孩子B的右子树的根结点向左上旋转到B结点的位置，然后再把该C结点向右上旋转提升到A结点的位置。

4.RL平衡旋转（先右后左双旋转）
由于在A的右孩子（R）的左子树（L）上插入新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致导致以A为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先右旋转后左旋转。
先将A结点的右孩子B的左子树的根结点C向右上旋转提升至B结点的位置，然后再把该C结点向左上旋转到A的位置。

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平衡二叉树的查找
在平衡二叉树上进行查找的过程和二叉排序树相同，因此，在查找的过程中和给定值进行比较的关键字个数不超过树的深度。假设以Nh表示深度为h的平衡树中含有的最少结点树。显然，N0=1，N1=1,N2=2，并且有Nh=Nh-1+Nh-2+1.可以证明含有n个结点平衡二叉树的最大深度为log2n，因此，平衡二叉树的平均查找长度为O(log2n).

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