基于贝叶斯决策理论的分类器

首先，我们知道机器学习分为监督学习和非监督学习两大类。在监督学习中，我们主要面对的是拟合问题(regression)和分类问题(classification)。在本节中，我们先来了解一下如何使用贝叶斯规则进行分类。

1. 贝叶斯决策理论

通常，我们会采集到许多的样本向量x并生成样本集X，然后我们给它们加上对应的标签(label)y，标签表示该样本对应的分类结果，这样我们就获得了一个样本向量和分类结果一一对应的数据集。我们先来考虑一下二分类问题(标签的取值只有两种)，下面给出贝叶斯公式：

P(wi|x)=P(x|wi)P(wi)P(x)

上式中，x是我们要进行分类的特征向量，wi是样本所属的类别。
我们的目标是：当得到一个新的样本x时，能从已有的数据集中推断出该样本属于某一类的可能性大小，即推断出P(wi|x)的大小。通过对数据集进行统计，我们可以得到给定某一类时，样本x出现的概率(P(x|wi))，以及数据集中某一类样本的数据出现的概率P(x)。通过对P(x|wi)进行边沿积分，我们可以得到某个样本x的出现概率，边沿积分公式下面给出：

P(x)=∑i=12P(x|wi)P(wi)

(这里考虑离散的情况，积分变为求和，同时只考虑二分类问题)
到这里，我们就可以通过对P(w1|x)和P(w2|x)的大小进行比较，从而得出分类结果了，我们的分类规则为：如果P(w1|x)>P(w2|x)，则x属于w1；如果P(w1|x)<P(w2|x)，则x属于w2。
知道了判决规则之后，将贝叶斯公式代入进行推导，获取一个等价的判决规则

P(x|w1)P(w1)P(x)=P(x|w2)P(w2)P(x)

P(x|w1)P(w1)=P(x|w2)P(w2)

1.1 如何衡量分类好坏？

直观上，我们认为尽可能的使分类正确才是衡量分类器好坏的标准，但在某些情况下，使用分类正确率来衡量分类器好坏是不合适的。比如根据癌症患者的一些信息，判断该患者是早期还是晚期患者，如果我们一味的准求准确率，而将部分晚期患者错判为早期患者，这将是致命的错误。因此这里我们引出了两种衡量分类器好坏

• 最小分类误差
  在该标准下，我们要做的就是使分类误差降到最低，而贝叶斯分类器可以证明在最小化分类错误率上是最优的。我们从下图来直观的认识一下。

图中的阴影面积是分类错误的概率，我们要找到一个合适的判决门限x0使分类误差最小，也就是使阴影面积最小。经过推导，当x0位于图中的交叉点位置时，分类误差最小。而我们的贝叶斯分类器很自然的就实现了这一点。

• 最小平均风险
  这里我们定义了一个风险函数和损失矩阵，我们要做的就是将x分给使风险函数值最小的那个类

li≡∑k=1MλkiP(x|wk)P(wk)

上式中λki是惩罚项，是将属于第k类的x分到第i类中所收到的惩罚。故我们可以定义一个惩罚矩阵

L=[0λ21λ120]

如果正确分类的话惩罚项为0，表示不受惩罚，根据需要去定义分类错误时收到的惩罚大小。
因此在分类时，我们要计算k=1和2时的损失大小，将x分给使损失最小的那一类，这就是最小平均风险。但是，要注意的是此时的损失li是没有概率意义的。

2. 参数估计

我们在获取到大量的样本数据x之后，想知道x是服从什么样的分布的，了解概率分布将更好的帮助我们改进我们的分类器模型。所以，从样本中估计出概率分布的参数就变得尤为重要。
在介绍估计方法之前，我们要先了解一些概念：

1. 要被估计的参数：θ
2. 先验概率：p(θ)表示θ的先验概率
3. 后验概率：p(θ|x)表示在给定x的条件下，θ的概率
4. 似然函数：p(x;θ)，似然函数是以θ为自变量的函数

下面会介绍四种参数估计方法。

2.1 极大似然估计

因为我们的样本是随机获得的，样本间是独立同分布的，所以我们可以写出似然函数

p(X;θ)≡p(x1,x2,⋯,xN;θ)=∏k=1Np(xk;θ)

找到使似然函数取最大值的时的θ，就得到了我们的参数估计值θ^ML=θ，数学表达式如下

θ^ML=argmaxθ∏k=1Np(xk;θ)

通过分析我们知道，极大似然估计是渐进无偏的估计，估计值均方收敛与真实值，如果想要估计的足够准确，要求样本数N要尽可能的多。
这时，我们再观察似然函数，可以发现其中都是连乘结构，因此我们可以在似然函数外边套上一个ln()函数，得到对数似然函数。这么做带来的好处就是将连乘转化为求和的形式，降低了求导的难度。而ln()函数本身是单调的，因此求解对数似然函数的极点和求解似然函数的极点是等效的。下面给出对数似然函数的表达式：

L(θ)≡ln∏k=1Np(xk;θ)=∑k=1Nln(p(xk;θ))

2.2 最大后验概率估计

通过该方法的名字我们就可以知道，我们是要使参数的后验概率达到最大。和极大似然估计最大的不同是，这里我们认为θ是一个随机向量，也是具有某种形式概率分布的。极大似然估计中仅仅将θ认为是一个变量，是没有统计特性的，这一点要尤其注意。
根据贝叶斯公式，我们可以得到参数θ的表达式：

p(θ|X)=p(θ)p(X|θ)p(X)

式中，X=(x1,x2,⋯,xn)是我们采集到的样本集，该样本集出现的概率是一个常数，因此p(X)是一个常数，不影响后验概率函数的极值点，估计值为θ^MAP。

θ^MAP:∂∂θp(θ|X)=0

等价于求导：

∂∂θp(θ)p(X|θ)=0

到这里，我们发现了一个问题，我们并不知道θ的先验概率，因此我们要做的另一件事就是必须要先给出θ一个合理的先验分布，才能进行估计。

2.3 最大熵估计

首先引入熵的概念，熵表示一个系统的混乱程度，这是从物理学中借鉴过来的概念，下面给出表达式：

H=−∫xp(x)ln(p(x))dx

s.t.∫p(x)dx=1

因为我们要估计的是某种概率密度函数，所以其积分值等于1，这是一个线性约束条件，这是我们的问题就转化为了求解这个线性约束的最优化问题，求解方法是拉格朗日乘子法，可以参考这方面的书籍。

2.4 非参数估计

这是一种非常直观的估计方法，引入下面这张图来进行说明

我们只需要合理选择x的间隔即可，间隔小，可以得到更加精确的估计，但是如果样本数量较少的话，概率密度函数会出现很多毛刺。间隔大，估计出的概率密度函数更加平滑，但是精度较低，解决方法只有增大样本数量。
估计一维概率密度函数时，我们需要观察样本在x的一小段线段上的分布情况，估计二维概率密度函数时，由于特征数量从1变成了2，于是我们要观察样本在x1,x2的线段组成的一个小方块上的分布情况，到了三维概率密度函数时，观测区间变成了一个立方体，再到高维情况下，观测区间是超立方体(超球体)。
到这就出现问题了，虽然该方法的计算十分简单，但是随着特征数量的增长，观测区间的个数也是指数增长的，同时区间间隔的大小也影响观测区间的个数。
因此，当特征数量很多时，这种方法的效率可能是很低的。

3. 贝叶斯分类器在现实中的应用

3.1 垃圾邮件分类

现在很多邮箱系统都由垃圾邮件自动屏蔽功能，但是系统是怎么知道一封邮件是不是垃圾邮件呢？
这里引出了朴素贝叶斯技术，朴素贝叶斯和贝叶斯最大的不同在于给定了一个很强的条件，就是条件概率之间是相互独立的，下面给出具体的公式：

P(x1,x2,⋯,xN|wi)=∏k=1Np(xk|wi)

N是我们收到的邮件中单词的数量，xk是邮件中的第k个单词，wi是类别，分为垃圾邮件类和非垃圾邮件类。我们已经有了一个较大的数据集，既有垃圾邮件也有非垃圾邮件，而我们要做的就是计算wi为垃圾邮件和非垃圾邮件时，概率P(x1,x2,⋯,xN|wi)的大小，而p(xk|wi)的计算就是统计每类中，单词wk出现的频率。
最后，将该邮件判决为概率大的那一类。

3.2 贝叶斯网络

首先，我们来关注一下概率的链式规则：

p(x1,x2,⋯,xl)=p(xl|xl−1,⋯,x1)p(xl−1|xl−2,⋯,x1),⋯,p(x2|x1)p(x1)

从这个式子中，我们发现概率其实是一层一层的传递过去的，这优点类似与算法中图的结构，而由概率构成的一定是一个有向无环图(DAG)。
下边给出一个简单的例子，对癌症患者进行药物测试：

正如图中所示，概率是一级一级传递下来的，在这个类似于决策树的结构中，可以计算出端点上的概率值，这就是我们进行判断的依据。

参考文献

[1]: 模式识别第四版
[2]: 统计学习方法