Smart Thief 问题

问题：

实验室的老师发在群里的问题，不知道出处，下面给出一些自己的解答：

方法一：整数规划（只是想求一个结果）
建模：
将各房间看成一个变量Xi：X1，X2，…X12
权重为每个房间的profit：W[i]
目标：最大化所偷房间的权重和
限制条件：
X1+X2<=1,
X2+X3<=1,
…
X12+X1<=1
Xi属于{0,1}
（0,1）整数规划问题可以借助excel或其他的一些软件来解，这里采用excel：

方法2：动态规划

如图所示，从上至下，设共有n个房间，形成一个n个数的序列，i表示第i个房间，每个房间的profit为w[i]，Fi表示前i个数的最优收获，则对于第i个房间有两种可能，最优收获方案包括i或不包括i，当i<n时，前i个数中的第一个数和最后一个数不相邻，则有Fi=max（w[i]+F(i-2),F(i-1)）,当i=n时，情况有点特殊，即Fi=max（w[i]+F’(i-2),F[i-1]）,因为这时第n个数与第一个数实际上是相邻的，所以F’(i-2)实际上表示从第二个数开始到第i-2个数的最优方案，所以可以实现一个F函数从第一个数开始递推得到第i个数的最优方案，主函数调用两次该函数求最优，一次是求从第一个数到第n-1个数的最优解，第二次调用时第二个数到第n-2个数的最优解，然后将前者的值与后者加上w[n]的值进行对比。
F函数总是由前两个状态的值得到第三个状态的解，如果只需要求得最大利润，相当于O(N)的时间复杂度，如果需要求最优方案，则需要维护每次求得的子问题的最优方案的值。
下面给出了一个简单的C++代码，但是在维护最优方案值上不够高效，时间复杂度为O（N^2）
(后面想到一种方法，不需要像下面代码那样每次对前两个最优方案的数组进行拷贝，可以实现一个二维数组a[n][n],a[i][j]=0或1，表示第i个数在前j个数的最优方案中是否被包含)

#include <vector>#include <string>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;//input:profit array,number of rooms;//output:step[],maxprofit;//step[n] step[i]=0 0r 1, means choose to steal or not respectivelyint Max_profit_range(vector<int> profit,vector<int> &step)  //attain the maximum profit and the stepof the input profit array    {        int n = profit.size();        int k1 = profit[0];         int k2,k3;        if (n == 1)    //n为1的特殊情况        {            step[0] = 0;            return profit[0];        }        vector<int> s1(n);        vector<int> s2(n);        vector<int> s3(n);        int maxprofit = 0;        s1[0] = 1;        if (profit[0] >= profit[1])        {             s2[0] = 1;             s2[1] = 0;            k2 = profit[0];        }        else         {            s2[0] = 0;            s2[1] = 1;            k2 = profit[1];        }        for (int i = 2; i < n; i++)           {            if (profit[i] + k1 >= k2)  //逐渐向后递推，由前两个状态的值得到第三个状态的值            {                s1[i] = 1;                k3 = profit[i] + k1;                s3 = s1;            }            else            {                k3 = k2;                s3 = s2;            }            k1 = k2;            k2 = k3;            s1 = s2;            s2 = s3;        }        step =s2;        return k3;    }void Max_profit(vector<int> profit)    {        int n = profit.size();        int max_profit=0,step;        if (n <= 3)        {            for (int i = 0; i < n; i++)            {                if (max_profit < profit[i])                {                    max_profit = profit[i];                    step = i;                }            }            cout << "the maximum profit is: " << max_profit << endl;            cout << "the step is:" << step+1 << ":" << profit[step] << endl;            return;        }        auto it1 = profit.begin();        auto it2 = profit.end();        vector<int> profit1(it1 + 1, it2 - 2);        vector<int> profit2(it1, it2 - 1);        vector<int> step1(n,0),step2(n,0),step3(n,0);        int k1, k2;         k1=profit[n-1]+Max_profit_range(profit1, step1);        k2=Max_profit_range(profit2, step2);  //调用两次函数，将结果进行对比        if (k1>=k2)        {            cout << "the maximum profit is " << k1 << endl;            cout << "the step is:" << endl;            step3.insert(step3.begin()+1,step1.begin(),step1.end());            step3[0] = 1;        }        else        {            cout << "the maximum profit is " << k2 << endl;            cout << "the step is:" << endl;            step3=step2;            step3.insert(step3.end(), 0);        }        for (int i = 0; i < n; i++){            if (step3[i] == 1)cout << i+1 << ":" << profit[i] << endl;        }    }int main(){    vector<int> profit{ 89, 55, 37, 6, 64, 99, 11, 23, 76, 4, 65, 9};    Max_profit(profit);    system("PAUSE");    return 0;}

结果输出