BZOJ 1494 [NOI2007]生成树计数

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1494

题目大意： 给定n个点的无向图 。节点编号1......n

第i个点与第j个点有边.当且仅当:∣∣i−j∣∣≤k

计算n个点时图的生成树数量。2≤k≤5  , 2≤n≤1015

答案mod 65521

所以我们基于连通性进行递推。并通过构造矩阵进行快速幂。

为什么要基于连通性。如何表示状态。

首先：

当我们考虑加入一个新的点时。如果它不是我们加入的最后一个点。那么我们没有必要一定要使得加入这个点后 。建立一些边后。这个森林会成为一个树。

但我们需要使得更远点。与最后k个点有链接。

如果更远的点与最后k个点没有链接。新加入的点又不可能与之建立联系。

导致更远的点断开了链接。就不可能生成一个树。

其次。连通性其实就是特征。根据不同的连通性决定的一类森林进行转移。相同连通性的森林转移到另一连通性时。方案是一样的。

所以可以基于连通性进行递推。

那么如何表示后k点的连通性呢。

我们用k进制数字来表示。[0,k−1]

后k个节点的第t个节点所在集合编号就是这个数字的第t位数码。

可能会出现重复状态：

例如:

0 1 11 2 2

这两个状态是一样的。

那么我们调整对状态表示的定义。对于确定的连通性。

某一点所在集合的编号如何确定是我们关心的。

那么不如所有集合中最早出现的点的名次作为集合编号。从0开始编号。

例如：

2 1 2 3 0

他的状态就是：

0 1 0 2 3

我们计算出所有可能的状态。并按顺序对这些状态编号。从0开始。

那么剩下的是构造转移矩阵：

对于状态a向b转移的方案数量我们记为：M[b][a]

显然之前在一个联通块的点不可能分开。

所以如果在a中是连通的在b中变为不连通是不可能的.这时候转移方案是0。

其次,如果在a中是不连通的。在b中连通的。这时候。如何两个点与最新的点不在一个集合。那也是不可能的。之所以连通只可能是新的点建立 了链接。所以此时方案也是0

除了这两个情况之外。我们开始计算转移方案：

对于与新的点在一个联通块的点。之前状态所在的集合在k个点中占有的点数就是新点与之链接的方案数。根据乘法原理：

M[b][a]=c1∗c2..∗cr

这表示让不相关的r个集合连通的方案只需要分开计算，相乘即可。

其次。构造出来的矩阵无法从0开始递推。

因为在n<k时情况的特殊性。

我们需要计算。k个点时。在不同连通状态下的方案数。作为右侧向量。

从k递推到n。

对于这一步。与之前的想法差不多。对于第i个连通块的方案。

第一步：构造关于第i个连通块的子图。

第二步：构造关于这个子图的基尔霍夫矩阵。

第三步：对这个矩阵的n−1阶进行对角化或变为上下三角。

第四步：对角化后计算对角线的乘机即位方案数。（即行列式的值）

单独计算每个连通块的搭建方案后乘即可。

这样就可以愉快的矩阵快速幂了。

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <algorithm>#include <cmath>#define MAXN 1000using namespace std;typedef long long LL;const int mod=65521;int T[100][6],dep;int D[100];bool vis[6];int C[6];int A[5];int M[60][60];int E[10][10];int tmE[10][10];int tma[6],tmb[6];int cmp(int k,int a,int b)  //a-->b{    for(int i=0;i<k;i++)    {        tma[i]=T[a][i];        tmb[i]=T[b][i];    }    for(int i=0;i<k-1;i++)        for(int j=i+1;j<k-1;j++)        {            if(tma[i+1]==tma[j+1]&&tmb[i]!=tmb[j])return 0;            if(tma[i+1]!=tma[j+1]&&tmb[i]==tmb[j]&&tmb[i]!=tmb[k-1])return 0;        }    memset(vis,0,sizeof vis);    int ans=1;    for(int i=0;i<k-1;i++)    {        if(tmb[i]!=tmb[k-1])continue;        if(vis[tma[i+1]])   continue;        vis[tma[i+1]]=true;        int c=0;        for(int j=0;j<k;j++)            if(tma[j]==tma[i+1])c++;        ans=(LL)ans*c%mod;    }    return ans;}struct mat{    int m[60][60];    mat()    {        memset(m,0,sizeof m);    }    void e()    {        for(int i=0;i<60;i++)m[i][i]=1;    }    mat operator *(const mat & a)const    {        mat b;        for(int i=0;i<dep;i++)            for(int j=0;j<dep;j++)                for(int k=0;k<dep;k++)                    b.m[i][j]=((LL)b.m[i][j]+(LL)m[i][k]*a.m[k][j])%mod;        return b;    }};int Iv[mod+10];int Kirchhof(int n){    n--;    int r=0;    for(int i=0; i<n ;i++)    {        for(int j=r; j<n ;j++)            if(tmE[j][i]>0)            {                for(int k=i;k<n;k++)                    swap(tmE[j][k],tmE[r][k]);                break;            }        if(tmE[r][i]==0)continue;        for(int j=0;j<n;j++)            if(j!=r&&tmE[j][i]>0)            {                int tm=(LL)tmE[j][i]*Iv[tmE[r][i]]%mod;                for(int k=i;k<n;k++)                    tmE[j][k]=(tmE[j][k]-(LL)tm*tmE[r][k]%mod+mod)%mod;            }        r++;    }    int ans=1;    for(int i=0;i<n;i++)        ans=(LL)ans*tmE[i][i]%mod;    return ans;}int B[100];int clat(int k,int d){    int ans=1;    memset(vis,0,sizeof vis);    for(int i=0;i<k;i++)    {        if(vis[T[d][i]])    continue;        vis[T[d][i]]=true;        memset(tmE,0,sizeof tmE);        int u=0;        for(int j=0;j<k;j++)            if(T[d][j]==T[d][i])C[u++]=j;        for(int j=0;j<k;j++)            for(int h=0;h<k;h++)            {                if(T[d][j]!=T[d][i])continue;                if(T[d][h]!=T[d][i])continue;                int a=(int)(lower_bound(C,C+u,j)-C);                int b=(int)(lower_bound(C,C+u,h)-C);                tmE[a][b]=E[j][h];            }        for(int j=0;j<u;j++)            for(int h=0;h<u;h++)                if(j!=h)                    tmE[j][j]=(tmE[j][j]-tmE[j][h]+mod)%mod;        ans=(LL)ans*Kirchhof(u)%mod;    }    return ans;}int slove(LL n,int k){    if(n<=(LL)k)    {        for(int i=0;i<n;i++)            for(int j=0;j<n;j++)                tmE[i][j]=E[i][j];        for(int i=0;i<n;i++)            for(int j=0;j<n;j++)                if(i!=j)                    tmE[i][i]=(tmE[i][i]-tmE[i][j]+mod)%mod;        return Kirchhof((int)n);    }    mat a,tmp;    tmp.e();    for(int i=0;i<dep;i++)        for(int j=0;j<dep;j++)            a.m[i][j]=M[i][j];    n-=k;    while(n)    {        if(n&1)            tmp=tmp*a;        a=a*a;        n>>=1;    }    int ans=0;    for(int i=0;i<dep;i++)        ans=(ans+(LL)tmp.m[0][i]*clat(k,i)%mod)%mod;    return ans;}int main (){    Iv[1]=1;    for(int i=2;i<mod;i++)  Iv[i]=mod-(LL)(mod/i)*Iv[mod%i]%mod;    LL n;    int k;    scanf("%d %lld",&k,&n);    int size=0,ten=1,bi=0;    while(bi<k)    {        ten*=10;        size=size*10+(k-1);        bi++;    }    ten/=10;    size+=1;    for(int i=0;i<size;i++)    {        for(int K=0,u=ten,d=i;K<k;K++)        {            A[K]=d/u;            d=d%u;            u/=10;        }        int cnt=0,flag=false;        for(int K=0;K<k;K++)        {            if(A[K]>cnt)            {                flag=true;                break;            }            if(A[K]==cnt)   cnt++;        }        if(flag)continue;        for(int t=0;t<k;t++)    T[dep][t]=A[t];        dep++;    }    for(int i=0;i<dep;i++)        for(int j=0;j<dep;j++)            M[i][j]=cmp(k,j,i);    for(int i=0;i<10;i++)        for(int j=0;j<10;j++)        {            if(i==j)continue;            if(abs(j-i)<=k)E[i][j]=mod-1;        }    printf("%d\n",slove(n,k));    return 0;}