优先队列与堆排序

概述

我所知道的，广义的队列有三种：stack栈是一种，queue队列是一种，还有一种比较特殊，priority queue优先队列

为什么特殊，因为前面两种队列，往队列push元素的时候，push过程就是很简单的把元素放在头部或者尾部就行了，pop的时候也是简单的取出头尾数据。而优先队列更加“智能化”，你把数据push进队尾的时候，push过程要在内部把数据进行整理，使队首元素总保持是最大值，所以你pop元素的时候都能拿到队列的最大元素了，另外pop的时候也需要整理数组，毕竟还得从剩下的数据中选一个最大的数顶上来，不然下一次pop队首元素，怎么能保证它是最大元素呢。

如果你要对一组数据进行排序，除了插入排序、快速排序等方式，还可以借助优先队列这个性质，把数据全部装进去，一个一个取出来不就有序了么。这就是堆排序。为啥是堆排序不叫“优先队列排序”呢，前面说，priority queue的核心算法就是push与pop，其实就是赋予普通数组堆的性质，也可以说是基于堆的性质来整理数组，这样才能让你每次pop得到的都是排好序的元素啊。什么是堆的性质呢，下面就来讲下这个堆到底是什么。

堆的性质

堆是一种抽象数据结构，同时也是一种性质，是普通数组 + 一种关联 

这种关联以数组下标表示：下标n的元素为父节点，2n、2n+1为它左右两个子节点。

说得像是二叉树一样是吧，不过他就是内置数据类型---数组，不是二叉树结构，只是加上了元素间的一层关系而已。

通过这种关系，元素i就可以直接访问到距离它很远的2i、2i+1的元素了。

如果我们在这层关联上面建立一个大小关系（n > 2n && n > 2n + 1）,那么数组就成为了堆。

用堆排序

假设数组已满足了堆定义，添加队尾元素后，如何让首元素保持是最大元素？

这个不就是push接口里面该做的事情么，答案是对其进行排序么？单独看排序的话，想到的排序肯定是快排之类的nlogn级别的排序，不过没有这个必要，因为我们想的是只找出最大元素更新到数组的首位，而不是把整个数组排序，显然这个工作比兴师动众的快排更加轻量级，时间复杂度肯定比nlogn小得多，怎么实现这个push呢，假设这个新的尾部元素索引是8并且他就是最大元素，他需要如何“上位”呢，一路swap，他需要经过的索引是：4->2->1，最后就替代了1这个首元素成为老大了，为什么可以这样跳着排，正是因为数组原本就满足了堆的性质，并且“上位”之后，这个性质依然保持。每次交换，索引都会折半，那么时间复杂度就和折半查找一样是logn了，注意logn只是使首元素成为最大/小，并没有对数组进行排序。

假设数组已满足了堆定义，取出队首元素后，如何让首元素保持是最大元素？

其实就是pop的实现，队首元素没有了，肯定要让其他元素去填充它，最方便的就是让队尾元素去填充，填充了之后它变成队首元素，为了最大的元素“上位”，它还得与左右子节点比较，如果它本身就是数组中最小的元素，它得从队首位置开始一路swap，比如经过1->3->7，最后7这个位置就是它最终位置，最后数组保持了堆的性质。

这样一来，就实现了概述里面的的排序功能了。

以最小堆为例，来看一个优先队列的接口：

template<typename T>class MinPQ{public:public:MinPQ();//默认构造空队列MinPQ(int max);//初始容量为maxMinPQ(T a[], int n);//用a[]数组创建void insert(T v);//末尾插入 T delMin();//头部删除 T min();//返回最小元素bool isEmpty();//判空int  size();//返回队列元素个数private:void swim(int k);//尾部新数据重排void sink(int k);//头部新数据重排void minPQCheck();//检查队列是否满足最小堆T* pq;//内置数组int N;//当前数据量\当前队尾索引int C;//数据容量public:static int MinPQ<T>::testMinPQ();};

实际用法

如果你真的用优先队列来排序整个数组的话，并没有与它的核心功能完全匹配，它的应用场景不是排序，而是提取数组中前k大的数据。

此时又想到了使用排序，不过排序是在提取前面k个元素基础上还对其进行了大小排列，而提取前k个元素并没有叫我们排列数据！所以我们不需要用排序，用优先队列更快。

假如n为10000，k为100，提取前面100个元素：

只需要建立大小为101的最小堆，往里面不断push数据直到装满，然后重复pop、push多次直到10000个元素全部使用完，最后剩在堆里面的100个数据就是前100大小的数据。

一般地，提取前k个数据，堆大小为k，我往里面push了n个元素，每次push、pop时间复杂度为logk，整个过程时间复杂度为n*logk。

以下给出实现代码：

template<typename T>MinPQ<T>::MinPQ() {////}template<typename T>MinPQ<T>::MinPQ(int max) :N(0), C(max) {pq = new T[max + 1];//索引要从1开始memset(pq, 0, sizeof(int) *(max + 1));}template<typename T>MinPQ<T>::MinPQ(T a[], int n) : N(n), C(n) {////}template<typename T>void MinPQ<T>::insert(T v) {pq[++N] = v;swim(N);minPQCheck();}template<typename T>T MinPQ<T>::delMin() {T ret = min();pq[1] = pq[N];pq[N--] = NULL;sink(1);minPQCheck();return ret;}template<typename T>bool MinPQ<T>::isEmpty() {return N == 0;}template<typename T>int MinPQ<T>::size() {return N;}template<typename T>T MinPQ<T>::min() {return pq[1];}template<typename T>void MinPQ<T>::swim(int k) {while ((k > 1) && (pq[k] < pq[k / 2])) {swap(pq[k], pq[k / 2]);k = k / 2;}}template<typename T>void MinPQ<T>::sink(int k) {while (2 * k <= N) {int s = 2 * k;//s is the final child element in swapif ((2 * k < N) && (pq[2 * k + 1] < pq[2 * k])) {if (pq[k] > pq[2 * k + 1]) {s++;}}if (pq[k] > pq[s]) {swap(pq[k], pq[s]);k = s;}elsebreak;}}template<typename T>void MinPQ<T>::minPQCheck(void) {for (int i = 1; i <= N / 2; i++) {if ((2 * i + 1 <= N) && (pq[i] > pq[2 * i] || pq[i] > pq[2 * i + 1])) {assert(false);}}}template<typename T>int MinPQ<T>::testMinPQ() {MinPQ<int>* pObj = new MinPQ<int>(2);srand(time(NULL));for (int i = 0; i < 3; i++)pObj->insert(rand() % 2000);vector<int> arr;for (int i = 0; i < 2000; i++) {arr.push_back(pObj->delMin());}for (auto n : arr) {cout << n << " ";}return 0;}template class MinPQ<int>;