改进版LCS

改进LCS：

1. 用k表示最长公共子串允许的最长间隔。

   如(‘我喜欢周杰伦歌’,’我最喜欢的是周杰伦唱的歌哈’,)

   如果k = 2： 匹配出 ‘我喜欢‘ or ’周杰伦’ ，因为‘欢的是周’ 中‘欢’与‘周’字间隔为3，超过k值。

   如果k = 3： 匹配出 ‘我喜欢周杰伦歌’ 。

2. 修改过的动态规划方法:

   用str1，str2分别表示需要匹配的串。用state[i][j]表示以str1[i]，str[j]结尾的最长公共子串。

   优化子结构： 要求整个序列的LCS，可以分解成所有子串间的LCS，取个最大值。所有子问题构建问题的解。

   重叠子问题:

   要求state[i][j],如果str1[i]==str[j]，这时候只要得到里i,j距离为k内的state的最大值，因为是满足固定距离的，所以新的state[i][j]为上述最大值加一。

   只需要求 str1[i’],str2[j’]结尾的state[i′][j′]的最大值，i′∈[i−k,i−1],j′∈[j−k,j−1], 重复求解了state[i′][j′],子问题具有重复性。

   状态转移方程:

   if str1[i] == str[j]: state[i][j]=max(state[i′][j′])+1,i′∈[i−k,i−1],j′∈[j−k,j−1]

   ​

   if str1[i] != str[j]: state[i][j]=0

3. 最后返回state中的最大值。

4. 时间复杂度 O（k2n2）,空间复杂度O(n2)