曲线

三维欧氏空间

三维欧氏空间E3是一个非空集合,其中元素称为点

• 任意两个不同的点唯一地决定了连接它们的直线
• 不在一条直线上的任意三个不同的点唯一地决定了通过这三点的平面
• E3中存在不共面的四个不同的点
• 过直线外任意一点能且只能做一条直线与已知直线平行

向量

三维欧氏空间E3中任意两个不同的点A,B∈E3都可以连成一条直线段, 记为AB. 如果指定A为起点, B为终点, AB称为有向线段. 所有相等的有向线段的集合称为一个向量.

标架

三维欧氏空间E3中不共面的任意四个不同的点O,A,B,C∈E3, 可得三个不共面的向量OA,OB,OC, 则{O,OA,OB,OC}称为 E3中的一个标架.

基于标架{O,OA,OB,OC}, 三维欧氏空间E3中任意一点p与三个实数构成的数组{x,y,z} 一一对应, 称为点 p 关于标架{O,OA,OB,OC} 的坐标.

取三维欧氏空间E3中一个标架{O,i,j,k}, 如i,j,k 是相互垂直, 并构成右手系的三个单位向量, 则标架{O,i,j,k} 是右手单位正交标架, 简称正交标架. 由正交标架给出的坐标系称为笛卡尔直角坐标系.

取三维欧氏空间E3中两个不同的正交标架{O,i,j,k} 和 {p,e1,e2,e3}, 则两者之间的关系为:

Op=a1i+a2j+a3ke1=a11i+a12j+a13ke2=a21i+a22j+a23ke3=a31i+a32j+a33k

令

a=(a1,a2,a3)

A=⎡⎣⎢a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎤⎦⎥

三维欧氏空间E3中取定一个正交标架{O,i,j,k}, E3中任意一个正交标架 {p,e1,e2,e3} 与矩阵对(a,A) 一 一对应.

三维欧氏空间E3中取定笛卡尔直角坐标系后, E3中的几何图形就可以用坐标刻画. 几何图形的固有性质可以用 坐标表达. 这种性质只与几何图形有关, 与坐标系的选取无关. 几何图形的用笛卡尔直角坐标表示的量与笛卡尔直角坐标系选取无关, 称为几何不变量.

向量函数

三维欧氏空间E3中全体向量组成的空间称为三维欧氏向量空间. 给定一个正交标架{O,i,j,k}后, 三维欧氏向量空间等同于由三个有序实数的组构成的空间R3

如何刻画一条曲线

E3中的曲线看作一个点随时间的变化而运动的轨迹, 也可以看作是某区间I∈R 到E3的一个同胚映射.

r:I→E3

刻画曲线通常是通过曲线上任意一个点的在空间的某一坐标系中的坐标值来实现. 根据所选取的坐标系的不同, 刻画曲线的方法可以分为两种: 使用固定的整体坐标系和使用内蕴局部坐标系.

假设E3 的欧式空间有固定的右手单位正交标架. 欧式空间中的一条曲线可以表示为一个一元向量函数

r=r(t)=[x(t),y(t),z(t)]

另一种方法是通过曲线的几何不变量, 即弧长, 曲率和挠率, 来刻画曲线.

正则参数曲线

微分几何是微积分在几何学中的应用. Euler使用参数方程来刻画曲线. 微分几何所研究的曲线的参数方程是连续可微的向量函数.
如果某一曲线的向量函数r
1. r(t) 是自变量t的三次以上连续可微函数
2. 对任意t 有r′(t)≠0
则,这样的参数曲线称为正则参数曲线[1].

(未完待续)

参考文献

[1] 陈维桓. 微分几何. [北京] 北京大学出版社, 2006.