第三章第五节函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法
定义:设函数f(x)在(a,b)内有定义,x 0 ∈(a,b),若存在x 0 的一个邻域,在x≠x 0 时,(1)f(x)<f(x 0 ),则称x 0 为f(x)的极大点,称f(x 0 )为函数的极大值;(2)f(x)>f(x 0 ),则称x 0 为f(x)的极小点,称f(x 0 )为函数的极小值.
极大点与极小点统称为极值点
极大值与极小值点是一个局部问题，在某个邻域内。
例如，确定函数f(x)=2x 3 −9x 2 +12x−3的单调区间.解:这个函数的定义域为(−∞,+∞),求这个函数的导数：f ′ (x)=6x 2 −18x+12=6(x−1)(x−2).解方程f ′ (x)=0,得它在函数的定义域(−∞,+∞)内的两个根x 1 =1,x 2 =2.这两个根把(−∞,+∞)分成三个分区间(−∞,1],[1,2],及[2,+∞).
x | (−∞,1) | 1 | (1, 2) | 2 | (2,+∞) | f ′ (x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 2 ↘ 1 ↗ 故f(x)的单调增区间为(−∞,1),(2,+∞);f(x)的单调减区间为(1,2).
f(x)=2x 3 −9x 2 +12x−3x=1为极大点,f(1)=2是极大值,x=2为极小点,f(2)=1是极小值.
注意：1)函数的极值是函数的局部性质.2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或导数不存在的点.
定理1.(极值第一判别法)设函数f(x)在x 0 的某邻域内连续,且在空心邻域内有导数,当x由小到大通过x 0 时,(1)f ′ (x)“左正右负”,则f(x)在x 0 取极大值.(1)f ′ (x)“左负右正”,则f(x)在x 0 取极小值.
例1.求函数f(x)=(x−1)x 23 的极值.
解：1)求导数f ′ (x)=(x−1) ′ x 23 +(x−1)(x 23 ) ′ =1⋅x 23 +(x−1)⋅(23 1x √ 3 )=53 ⋅x−25 x √ 3 2)求极值可疑点f ′ (x)=∞,x 1 =0,f(0)=0;f ′ (x)=0,x 2 =25 ,f(25 )=−0.333)列表判别
x | (−∞,0) | 0 | (0,25 ) | 25 | (25 ,+∞) | f ′ (x) + ∞ − 0 + f(x) ↗ 0 ↘ −0.33 ↗ ∴x=0为极大点，其极大值为f(0)=0x=25 为极小点，其极小值为f(25 )=−0.33
定理2.(极值第二判别法)设函数f(x)在点x 0 处具有二阶导数,且f ′ (x 0 )=0,f ′′ (x 0 )≠0(1)若f ′′ (x 0 )<0,则f(x)在点x 0 取极大值;(2)若f ′′ (x 0 )>0,则f(x)在点x 0 取极小值;
证：(1)f ′′ (x)=lim x→x 0 f ′ (x)−f ′ (x 0 )x−x 0 =lim x→x 0 f ′ (x)x−x 0 由f ′′ (x)<0知,存在δ>0,当0<|x−x 0 |<δ时,f ′ (x)x−x 0 <0故当x 0 −δ<x<x 0 时,f ′ (x)>0;当x 0 <x<x 0 +δ时,f ′ (x)<0;根据第一判别法知f(x)在x 0 取极大值.由f ′′ (x)>0知,存在δ>0,当0<|x−x 0 |<δ时,f ′ (x)x−x 0 >0故当x 0 −δ<x<x 0 时,f ′ (x)<0;当x 0 <x<x 0 +δ时,f ′ (x)>0;根据第一判别法知f(x)在x 0 取极小值.
例2.求函数f(x)=(x 2 −1) 3 +1的极值.
解:1)求导数f ′ (x)=3(x 2 −1) 2 (x 2 −1) ′ =6x(x 2 −1) 2 f ′′ (x)=6[x ′ (x 2 −1) 2 +x[(x 2 −1) 2 ] ′ ]=6[(x 2 −1) 2 +x⋅2(x 2 −1)(x 2 −1) ′ ]=6[(x 2 −1) 2 +4x 2 (x 2 −1)]=6(x 2 −1)(5x 2 −1)2)求驻点f ′ (x)=0x 1 =−1,x 2 =0,x 3 =1对应f(−1)=1,f(0)=0,f(1)=13)判断因f ′′ (0)=6>0,故f(0)=0为极小值;又f ′′ (−1)=f ′′ (1)=0,故需要使用第一判别法判断.由于f ′ (x)在±1左右邻域内不变号,∴f(x)在x=±1点没有极值.
二、最大值与最小值问题
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则其最值只能在极值点或端点处达到.
求函数最值的方法：
(1)求f(x)在(a,b)内的极值可疑点(驻点或不可导点)x 1 ,x 2 ,⋯,x m
最大值M=max[f(x 1 ),f(x 2 ),⋯,f(x m ),f(a),f(b)]
最小值m=min[f(x 1 ),f(x 2 ),⋯,f(x m ),f(a),f(b)]
特别：当f(x)在[a,b]内只有一个极值可疑点时,若在此点取极大(小)值,则也是最大(小)值.当f(x)在[a,b]上单调时,最值必在端点处达到.对于应用问题,有时可根据实际意义判别求，出的可疑点是否为最大值点或最小值点
例3.求函数f(x)=|2x 3 −9x 2 +12x|在闭区间[−14 ,52 ]上的最大值和最小值.
解：显然f(x)∈C[−14 ,52 ],且
f(x)={−(2x 3 −9x 2 +12x),−14 ≤x≤02x 3 −9x 2 +12x,0<x≤52
f ′ (x)={−6x 2 +18x−12=−6(x−1)(x−2),−14 ≤x≤06x 2 −18x+12=6(x−1)(x−2),0<x≤52
f(x)在[−14 ,52 ]内有极值可疑点x 1 =0,x 2 =1,x 3 =2
f(−14 )=31932 ,f(0)=0,f(1)=5,f(2)=4,f(52 )=5
故函数在x=0取最小值0;在x=1及52 取最大值5.
例4.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距离A处20km,AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条公路,已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5，为使货物从B运到工厂C的运费最省,问D点应如何选取?
解：设AD=x(km)，则CD=20 2 +x 2 − − − − − − − √ ,总运费f(x)=5k20 2 +x 2 − − − − − − − √ +3k(100−x)(0≤x≤100)f ′ (x)=k(5x400+x 2 − − − − − − − √ −3)f ′′ (x)=5k400(400+x 2 ) 32 >0令f ′ (x)=0,得x=15f ′′ (15)>0,所以x=15为极小点,f(0)=400kf(15)=330kf(100)=4k20 2 +100 2 − − − − − − − − − √ >400kf min (x)=f(15)=330k,故AD=15km时，运费最省
例5.把一根直径为d的圆木锯成矩形粱,矩形截面的高h和宽b,问应该如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?
解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为w=16 bh 2 w=16 b(d 2 −b 2 ),b∈(0,d)令w ′ =16 (d 2 −3b 2 )=0得b=3 √ 3 d,h=6 √ 3 d,w ′′ =−b<0,有极大值。即d:h:b=3 √ :2 √ :1时，抗弯截面模量最大.
内容小结
1.连续函数的极值
(1)极值的可疑点：使得导数为0或不存在的点
(2)第一充分条件
f ′ (x)过x 0 由正变负⟹f(x 0 )为极大值
f ′ (x)过x 0 由负变正⟹f(x 0 )为极小值
(3)第二充分条件
f ′ (x 0 )=0,f ′′ (x 0 )<0⟹f(x 0 )为极大值
f ′ (x 0 )=0,f ′′ (x 0 )>0⟹f(x 0 )为极小值
2.连续函数的最值
最值点应在极值点和边界点上找;
应用问题可根据实际问题判定.
思考与练习
1.设y=f(x)是方程y ′′ −2y ′ +4y=0的一个解,若f(x 0 )>0,且f ′ (x 0 )=0,则f(x)在x 0 ( A ).
(A).取得极大值;
(B).取得极小值;
(C).在某邻域内单调递增;
(D).在某邻域内单调递减;
解：f ′′ (x 0 )=2f ′ (x 0 )−4f(x 0 )=−4f(x 0 )<0f ′ (x 0 )=0,f ′′ (x)<0,f(x 0 )在x 0 取得极大值
