凸包算法详解-Graham扫描法

一.概念：

凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。
在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。
X的凸包可以用X内所有点(X1，...Xn)的线性组合来构造.
在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。
用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有的点。

二.解法：

Graham扫描法

时间复杂度：O(n㏒n) 
思路：Graham扫描的思想是先找到凸包上的一个点，然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点，实际上就是进行极角排序，然后对其查询使用。
步骤：

1.把所有点放在二维坐标系中，则纵坐标最小的点一定是凸包上的点
2.把所有点的坐标平移一下，使 P0 作为原点
3.计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时，距离 P0 比较近的排在前面。我们由几何知识可以知道，结果中第一个点 P1 和最后一个点一定是凸包上的点。 
（以上是准备步骤，以下开始求凸包） 
以上，我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1，我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里，把 P1 后面的那个点拿出来做当前点，即 P2 。接下来开始找第三个点：
4.连接P0和栈顶的那个点，得到直线 L 。看当前点是在直线 L 的右边还是左边。如果在直线的右边就执行步骤5；如果在直线上，或者在直线的左边就执行步骤6。
5.如果在右边，则栈顶的那个元素不是凸包上的点，把栈顶元素出栈。执行步骤4。
6.当前点是凸包上的点，把它压入栈，执行步骤7。
7.检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点，返回步骤4。
最后，栈中的元素就是凸包上的点了。

代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;struct node{    int x,y;};node vex[1000];//存入的所有的点node stackk[1000];//凸包中所有的点int xx,yy;bool cmp1(node a,node b)//排序找第一个点{    if(a.y==b.y)        return a.x<b.x;    else        return a.y<b.y;}double cross(node a,node b,node c)//计算叉积 判断bc向量到ac向量 是否通过左转得到 >0左转 <0右转  =0共线 {    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);}double dis(node a,node b)//计算距离{    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)*1.0+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));}bool cmp2(node a,node b)//极角排序另一种方法，速度快{    if(atan2(a.y-yy,a.x-xx)!=atan2(b.y-yy,b.x-xx))        return (atan2(a.y-yy,a.x-xx))<(atan2(b.y-yy,b.x-xx));    return a.x<b.x;}bool cmp(node a,node b)//极角排序{    int m=cross(vex[0],a,b);    if(m>0)        return 1;    else if(m==0&&dis(vex[0],a)-dis(vex[0],b)<=0)  //共线 也读入凸包         return 1;    else return 0;     }int main(){    int t,L;    int i;t=7;            vex[0].x=1,vex[0].y=0;     vex[1].x=-1,vex[1].y=1;     vex[2].x=2,vex[2].y=0;     vex[3].x=0,vex[3].y=0;     vex[4].x=-1,vex[4].y=-1;     vex[5].x=1,vex[5].y=-1;     vex[6].x=-2,vex[6].y=-0;   //可以用while读  更改                memset(stackk,0,sizeof(stackk));        sort(vex,vex+t,cmp1);//最左下角的点     stackk[0]=vex[0];  //第一个凸包点     sort(vex+1,vex+t,cmp);//cmp2是更快的，cmp更容易理解   极角排序                stackk[1]=vex[1];//将第2个点存入凸包的结构体中        int top=1;//最后凸包中拥有点的个数  实际为2     for(i=2; i<t; i++)    {                    while(cross(stackk[top-1],stackk[top],vex[i])<0){   //是否满足叉乘大于0 不满足出栈  控制<0或<=0可以控制重点，共线            top--;                }        stackk[++top]=vex[i];  //满足的入栈                             }           for(i=0; i<=top; i++)           cout<<stackk[i].x<<" "<<stackk[i].y<<endl;}