勾股数组(毕达哥拉斯数组)
来源:互联网 发布:dh密钥交换算法 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 18:22
本原勾股数组(PPT)是一个三元组(a,b,c),其中a,b,c无公因数,且满足a² +b² =c²。
很明显存在无穷多个勾股数组(abc同乘以n),下面研究abc没有公因数的情况,先写出一些本原勾股数组:
case:(3,4,5) (5,12,13) (8,15,17) (7,24,25) (20,21,29)(9,40,41)(12,35,37)(11,60,61)(28,45,53) (33,56,65) (16,63,65)
观察可以看出a,b奇偶性不同且c总是奇数。(用一点技巧可以证明这是正确的)
另外:
3² = 5² - 4² = (5-4)(5+4) = 1 × 9
15² = 17²-8² = (17-8)(17+8) = 9 ×25
35² = 37² - 12² = (37-12)(37+12) = 25 ×49
......
很神奇的是似乎c-b与c+b总是平方数,并且c-b与c+b木有公因数
每个本原勾股数组(a,b,c)(a为奇数,b偶数)都可由如下公式得出:a=st,b=(s²-t²)/2, c = (s²+t²)/2, 其中s>t>=1是没有公因数的奇数。
当取t=1时就可以得到上面的许多例子
s t a b c
3 1 3 4 5
5 1 5 12 13
7 1 7 24 25
5 3 15 8 17
7 3 21 20 29
.......
特点: s t 都是奇数 s>t>=1 a b c gcd(最大公约数)为1
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