小波变换

1、多分辨率分析

将信号分解成不同空间的部分。通俗地讲，使用两个正交的函数基，可以表示一个平面的函数。如果，我们这两个函数基还可以自由的伸缩的话，我们将可以实现描述空间的所有函数。
事实时，我们描述一个平面的函数，相当于实现描述了时域。如果实现描述不同平面的函数，相当于实现描述了频域。
正交的函数基，我们分别称为，小波函数和尺度函数。

2.关于小波变换

通俗地说，当给定一个小波函数、尺度函数，我们先进行求尺度系数，小波系数，然后，将这些系数分别和小波函数相乘，得到的线性组合即为小波变换的结果。其实，这个过程，就是为了实现信号和小波函数的卷积。
理论的讲可以看下图。

3.关于分解与重构

分解，对信号进行高低频划分，然后不断地对低频部分再进行高低频划分。
重构，对最低频部分和高频组合成一个低频分量，再和较大高频组合成一个大的低频分量。可以看出，我们应用小波变换是一个重构的过程。

4、MATLAB对小波变换的实现

MATLAB 小波工具箱提供了以下几个实现一维小波分解和重构的函数[3]：

      [C,L] = wavedec(X,N,’wname’)，多尺度一维小波分解函数。其中C为分解结构变量，L为个分解结构以及原始信号长度变量，X为原始信号，N为分解层度，’wname’为小波类型。       X = waverec(C,L,’wname’)，多尺度一维小波重构函数。其中C，L为多尺度一维小波分解函数WAVEDEC的计算结果。      D = detcoef(C,L,N)，一维小波变换细节序列提取函数。其中C，L为多尺度一维小波分解函数WAVEDEC的计算结果。’wname’为小波类型。      A =appcoef(C,L,’wname’,N)，一维小波变换近似序列提取函数。其中C，L为多尺度一维小波分解函数WAVEDEC的计算结果。      Y = wrcoef(’type’,C,L,’wname’,N)，一维小波系数单支重构函数。其中，当’type’ = ’a’时重构近似序列，当’type’ = ’d’时重构高频系数；C,L,’wname’,N含义同上。      Y = upcoef(’type’,S,’wname’,N)，一维系数的直接小波重构函数。其中’type’，’wname’,N含义同上。S为小波分解系数变量。

参考：
1、小波变换PDF;
2、一维小波多尺度分解及重构的MATLAB实现.