特征选择

1. 移除低方差

方差计算公式：

离散型： D(X)=E{[X-E(X)]^2}=E(X^2) - [ E(X)]^2

∑(X−avg(X))2N

#sklearn 实现# http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.feature_selection.VarianceThreshold.html#sklearn.feature_selection.VarianceThreshold>>> X = [[0, 2, 0, 3], [0, 1, 4, 3], [0, 1, 1, 3]]>>> selector = VarianceThreshold()>>> selector.fit_transform(X)array([[2, 0],       [1, 4],       [1, 1]])'''            Parameters:  threshold : float, optionalFeatures with a training-set variance lower than this threshold will be removed. The default is to keep all features with non-zero variance, i.e. remove the features that have the same value in all samples.'''

2.单变量特征选择 (Univariate feature selection)

　　对于分类问题(y离散)，可采用：
　　　　卡方检验，f_classif, mutual_info_classif，互信息
　　对于回归问题(y连续)，可采用：
　　　　皮尔森相关系数，f_regression, mutual_info_regression，最大信息系数

• SelectKBest 移除得分前 k 名以外的所有特征(取top k)
• SelectPercentile 移除得分在用户指定百分比以后的特征(取top k%)
• 对每个特征使用通用的单变量统计检验： 假正率(false positive rate) SelectFpr, 伪发现率(false discovery rate) SelectFdr, 或族系误差率 SelectFwe.

• GenericUnivariateSelect 可以设置不同的策略来进行单变量特征选择。同时不同的选择策略也能够使用超参数寻优，从而让我们找到最佳的单变量特征选择策略。

  　　将特征输入到评分函数，返回一个单变量的f_score(F检验的值)或p-values(P值，假设检验中的一个标准，P-value用来和显著性水平作比较)，注意SelectKBest 和 SelectPercentile只有得分，没有p-value。

• For classification: chi2, f_classif, mutual_info_classif

• For regression: f_regression, mutual_info_regression

>>> from sklearn.datasets import load_iris>>> from sklearn.feature_selection import SelectKBest>>> from sklearn.feature_selection import chi2>>> iris = load_iris()>>> X, y = iris.data, iris.target>>> X.shape(150, 4)>>> X_new = SelectKBest(chi2, k=2).fit_transform(X, y)>>> X_new.shape(150, 2)

Feature selection with sparse data:
　　If you use sparse data (i.e. data represented as sparse matrices), chi2, mutual_info_regression, mutual_info_classif will deal with the data without making it dense.(如果你使用稀疏数据(比如，使用稀疏矩阵表示的数据), 卡方检验(chi2)、互信息回归(mutual_info_regression)、互信息分类(mutual_info_classif)在处理数据时可保持其稀疏性.)

2.1 卡方(Chi2)检验

　　经典的卡方检验是检验定性自变量对定性因变量的相关性。比如，我们可以对样本进行一次chi2chi2 测试来选择最佳的两项特征：

>>> from sklearn.datasets import load_iris>>> from sklearn.feature_selection import SelectKBest>>> from sklearn.feature_selection import chi2>>> iris = load_iris()>>> X, y = iris.data, iris.target>>> X.shape(150, 4)>>> X_new = SelectKBest(chi2, k=2).fit_transform(X, y)>>> X_new.shape(150, 2)

2.2 Pearson相关系数 (Pearson Correlation)

　　皮尔森相关系数是一种最简单的，能帮助理解特征和响应变量之间关系的方法，该方法衡量的是变量之间的线性相关性，结果的取值区间为[-1，1]，-1表示完全的负相关，+1表示完全的正相关，0表示没有线性相关。

　　Pearson Correlation速度快、易于计算，经常在拿到数据(经过清洗和特征提取之后的)之后第一时间就执行。Scipy的 pearsonr 方法能够同时计算 相关系数 和p-value.

import numpy as npfrom scipy.stats import pearsonrnp.random.seed(0)size = 300x = np.random.normal(0, 1, size)# pearsonr(x, y)的输入为特征矩阵和目标向量print("Lower noise", pearsonr(x, x + np.random.normal(0, 1, size)))print("Higher noise", pearsonr(x, x + np.random.normal(0, 10, size)))>>># 输出为二元组(sorce, p-value)的数组Lower noise (0.71824836862138386, 7.3240173129992273e-49)Higher noise (0.057964292079338148, 0.31700993885324746)

这个例子中，我们比较了变量在加入噪音之前和之后的差异。当噪音比较小的时候，相关性很强，p-value很低。

　　Scikit-learn提供的 f_regrssion 方法能够批量计算特征的f_score和p-value，非常方便，参考sklearn的 pipeline

　　Pearson相关系数的一个明显缺陷是，作为特征排序机制，他只对线性关系敏感。如果关系是非线性的，即便两个变量具有一一对应的关系，Pearson相关性也可能会接近0。例如：

x = np.random.uniform(-1, 1, 100000)
print pearsonr(x, x**2)[0]
-0.00230804707612

　　更多类似的例子参考 sample plots 。另外，如果仅仅根据相关系数这个值来判断的话，有时候会具有很强的误导性，如 Anscombe’s quartet ，最好把数据可视化出来，以免得出错误的结论。

2.3 互信息和最大信息系数 (Mutual information and maximal information coefficient (MIC)

　　经典的互信息（互信息为随机变量X与Y之间的互信息I(X;Y)I(X;Y)为单个事件之间互信息的数学期望）也是评价定性自变量对定性因变量的相关性的，互信息计算公式如下：

I(X;Y)=E[I(xi;yj)]=∑xiϵX∑yjϵYp(xi,yj)logp(xi,yj)p(xi)p(yj)I(X;Y)=E[I(xi;yj)]=∑xiϵX∑yjϵYp(xi,yj)logp(xi,yj)p(xi)p(yj)

　　互信息直接用于特征选择其实不是太方便：1、它不属于度量方式，也没有办法归一化，在不同数据及上的结果无法做比较；2、对于连续变量的计算不是很方便（X和Y都是集合，x，y都是离散的取值），通常变量需要先离散化，而互信息的结果对离散化的方式很敏感。

　　最大信息系数克服了这两个问题。它首先寻找一种最优的离散化方式，然后把互信息取值转换成一种度量方式，取值区间在[0，1]。 minepy 提供了MIC功能。

反过头来看y=x2y=x2这个例子，MIC算出来的互信息值为1(最大的取值)。

from minepy import MINEm = MINE()x = np.random.uniform(-1, 1, 10000)m.compute_score(x, x**2)print(m.mic())>>>1.0

　　MIC的统计能力遭到了 一些质疑 ，当零假设不成立时，MIC的统计就会受到影响。在有的数据集上不存在这个问题，但有的数据集上就存在这个问题。

2.4 距离相关系数 (Distance Correlation)

　　距离相关系数是为了克服Pearson相关系数的弱点而生的。在xx和x2x2这个例子中，即便Pearson相关系数是0，我们也不能断定这两个变量是独立的（有可能是非线性相关）；但如果距离相关系数是0，那么我们就可以说这两个变量是独立的。

　　R的 energy 包里提供了距离相关系数的实现，另外这是 Python gist 的实现。

> x = runif (1000, -1, 1)> dcor(x, x**2)[1] 0.4943864

　　尽管有 MIC 和 距离相关系数 在了，但当变量之间的关系接近线性相关的时候，Pearson相关系数仍然是不可替代的。
　　第一，Pearson相关系数计算速度快，这在处理大规模数据的时候很重要。
　　第二，Pearson相关系数的取值区间是[-1，1]，而MIC和距离相关系数都是[0，1]。这个特点使得Pearson相关系数能够表征更丰富的关系，符号表示关系的正负，绝对值能够表示强度。当然，Pearson相关性有效的前提是两个变量的变化关系是单调的。

2.5 基于模型的特征排序 (Model based ranking)

　　这种方法的思路是直接使用你要用的机器学习算法，针对 每个单独的特征 和 响应变量建立预测模型。假如 特征 和 响应变量 之间的关系是非线性的，可以用基于树的方法(决策树、随机森林)、或者 扩展的线性模型 等。基于树的方法比较易于使用，因为他们对非线性关系的建模比较好，并且不需要太多的调试。但要注意过拟合问题，因此树的深度最好不要太大，再就是运用交叉验证。

　　在 波士顿房价数据集 上使用sklearn的 随机森林回归 给出一个单变量选择的例子(这里使用了交叉验证)：

from sklearn.cross_validation import cross_val_score, ShuffleSplitfrom sklearn.datasets import load_bostonfrom sklearn.ensemble import RandomForestRegressorimport numpy as np# Load boston housing dataset as an exampleboston = load_boston()X = boston["data"]Y = boston["target"]names = boston["feature_names"]rf = RandomForestRegressor(n_estimators=20, max_depth=4)scores = []# 单独采用每个特征进行建模，并进行交叉验证for i in range(X.shape[1]):    score = cross_val_score(rf, X[:, i:i+1], Y, scoring="r2",  # 注意X[:, i]和X[:, i:i+1]的区别                            cv=ShuffleSplit(len(X), 3, .3))    scores.append((format(np.mean(score), '.3f'), names[i]))print(sorted(scores, reverse=True))

[(‘0.620’, ‘LSTAT’), (‘0.591’, ‘RM’), (‘0.467’, ‘NOX’), (‘0.342’, ‘INDUS’), (‘0.305’, ‘TAX’), (‘0.240’, ‘PTRATIO’), (‘0.206’, ‘CRIM’), (‘0.187’, ‘RAD’), (‘0.184’, ‘ZN’), (‘0.135’, ‘B’), (‘0.082’, ‘DIS’), (‘0.020’, ‘CHAS’), (‘0.002’, ‘AGE’)]

3.递归特征消除 (Recursive Feature Elimination)

　递归消除特征法使用一个基模型来进行多轮训练，每轮训练后，移除若干权值系数的特征，再基于新的特征集进行下一轮训练。

　　sklearn官方解释：对特征含有权重的预测模型(例如，线性模型对应参数coefficients)，RFE通过递归减少考察的特征集规模来选择特征。首先，预测模型在原始特征上训练，每个特征指定一个权重。之后，那些拥有最小绝对值权重的特征被踢出特征集。如此往复递归，直至剩余的特征数量达到所需的特征数量。

　　RFECV 通过交叉验证的方式执行RFE，以此来选择最佳数量的特征：对于一个数量为d的feature的集合，他的所有的子集的个数是2的d次方减1(包含空集)。指定一个外部的学习算法，比如SVM之类的。通过该算法计算所有子集的validation error。选择error最小的那个子集作为所挑选的特征。

from sklearn.feature_selection import RFEfrom sklearn.linear_model import LogisticRegression#递归特征消除法，返回特征选择后的数据#参数estimator为基模型#参数n_features_to_select为选择的特征个数RFE(estimator=LogisticRegression(), n_features_to_select=2).fit_transform(iris.data, iris.target)

基于模型的特征选择详解 (Embedded & Wrapper)

　　单变量特征选择方法独立的衡量每个特征与响应变量之间的关系，另一种主流的特征选择方法是基于机器学习模型的方法。有些机器学习方法本身就具有对特征进行打分的机制，或者很容易将其运用到特征选择任务中，例如回归模型，SVM，决策树，随机森林等等。

1. 线性模型和正则化(Embedded方式)

　　下面将介绍如何用==回归==模型的系数来选择特征。越是重要的特征在模型中对应的系数就会越大，而跟输出变量越是无关的特征对应的系数就会越接近于0。在噪音不多的数据上，或者是数据量远远大于特征数的数据上，如果特征之间相对来说是比较独立的，那么即便是运用最简单的线性回归模型也一样能取得非常好的效果。

from sklearn.linear_model import LinearRegressionimport numpy as np# A helper method for pretty-printing linear modelsdef pretty_print_linear(coefs, names=None, sort=False):    if names == None:        names = ["X%s" % x for x in range(len(coefs))]    lst = zip(coefs, names)    if sort:        lst = sorted(lst, key=lambda x: -np.abs(x[0]))    return " + ".join("%s * %s" % (round(coef, 3), name) for coef, name in lst)np.random.seed(0)  # 有了这段代码，下次再生成随机数的时候，与上次一样的结果size = 5000  # 表示抽取多少个样本# 随机生成3个特征的样本，每个维度的特征都是服从期望为0，标准差为1的正态分布X = np.random.normal(0, 1, (size, 3))  # 抽取5000个样本，每个样本都是3维的# Y = X0 + 2*X1 + noiseY = X[:, 0] + 2 * X[:, 1] + np.random.normal(0, 2, size)lr = LinearRegression()lr.fit(X, Y)print("Linear model:", pretty_print_linear(lr.coef_))>>> Linear model: 0.984 * X0 + 1.995 * X1 + -0.041 * X2

在这个例子当中，尽管数据中存在一些噪音，但这种特征选择模型仍然能够很好的体现出数据的底层结构。当然这也是因为例子中的这个问题非常适合用线性模型来解：特征和响应变量之间全都是线性关系，并且特征之间均是独立的。

　　然而，在很多实际的数据当中，往往存在多个互相关联的特征，这时候模型就会变得不稳定，对噪声很敏感，数据中细微的变化就可能导致模型的巨大变化（模型的变化本质上是系数，或者叫参数），这会让模型的预测变得困难，这种现象也称为多重共线性。例如，假设我们有个数据集，它的真实模型应该是Y=X1+X2Y=X1+X2，当我们观察的时候，发现Y′=X1+X2+eY′=X1+X2+e，ee是噪音。如果X1X1和X2X2之间存在线性关系，例如X1X1约等于X2X2，这个时候由于噪音ee的存在，我们学到的模型可能就不是Y=X1+X2Y=X1+X2了，有可能是Y=2X1Y=2X1，或者Y=−X1+3X2Y=−X1+3X2。【在X1X1约等于X2X2的线性关系下，学到的这三种模型，理论上来说都是正确的，注意他们有个共同的特点是，系数之和为2】

size = 100# 另外一个种子为5的随机采样，若要执行相同的结果，以种子号来区分随机采样的结果np.random.seed(seed=5)  X_seed = np.random.normal(0, 1, size)X1 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)X2 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)X3 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)X = np.array([X1, X2, X3]).TY = X1 + X2 + X3 + np.random.normal(0, 1, size)lr = LinearRegression()lr.fit(X, Y)print("Linear model:", pretty_print_linear(lr.coef_))>>> Linear model: -1.291 * X0 + 1.591 * X1 + 2.747 * X2

　　这个例子和上个例子中，三个特征都来源于标准正态分布的随机采样，这里系数之和接近3，基本上和上上个例子的结果一致，应该说学到的模型对于预测来说还是不错的。但是，如果从系数的字面意思上去解释特征的重要性的话，X2对于输出变量来说具有很强的正面影响，而X0具有负面影响，而实际上所有特征与输出变量之间的影响是均等的。
　　同样的方法和套路可以用到类似的线性模型上，比如逻辑回归。

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正则化的概念：

　　正则化就是把额外的约束或者惩罚项加到已有模型（损失函数）上，以防止过拟合并提高泛化能力。损失函数由原来的L(X,Y)L(X,Y)变为L(X,Y)+α∣∣w∣∣，，w是模型系数组成的向量（有些地方也叫参数parameter，coefficients）， ∥⋅∥∥⋅∥一般是L1或者L2范数，αα是一个可调的参数，控制着正则化的强度。当用在线性模型上时，L1正则化和L2正则化也称为Lasso(least absolute shrinkage and selection operator)和Ridge。

1.1 L1正则化(Lasso)

　　L1正则化将系数ww的l1范数作为惩罚项加到损失函数上，由于正则项非零，这就迫使那些弱的特征所对应的系数变成0。因此L1正则化往往会使学到的模型很稀疏（系数w经常为0），这个特性使得L1正则化成为一种很好的特征选择方法。

　　Scikit-learn为线性回归模型提供了Lasso，为分类模型提供了L1逻辑回归。下面的例子在波士顿房价数据上运行了Lasso，其中参数alpha是通过grid search进行优化的。

from sklearn.linear_model import Lassofrom sklearn.preprocessing import StandardScalerfrom sklearn.datasets import load_bostonimport numpy as npboston = load_boston()scaler = StandardScaler()X = scaler.fit_transform(boston["data"])Y = boston["target"]names = boston["feature_names"]lasso = Lasso(alpha=.3)lasso.fit(X, Y)print("Lasso model: ", pretty_print_linear(lasso.coef_, names, sort=True))

Lasso model: -3.707 * LSTAT + 2.992 * RM + -1.757 * PTRATIO + -1.081 * DIS + -0.7 * NOX + 0.631 * B + 0.54 * CHAS + -0.236 * CRIM + 0.081 * ZN + -0.0 * INDUS + -0.0 * AGE + 0.0 * RAD + -0.0 * TAX

可以看到，很多特征的系数都是0。如果继续增加αα的值，得到的模型就会越来越稀疏，即越来越多的特征系数会变成0。

　　然而，L1正则化像非正则化线性模型一样也是不稳定的，如果特征集合中具有相关联的特征，当数据发生细微变化时也有可能导致很大的模型差异。

1.2 L2正则化(Ridge Regression)

　　L2正则化同样将系数向量的L2范数添加到了损失函数中。由于L2惩罚项中系数是二次方的，这使得L2和L1有着诸多差异，最明显的一点就是，L2正则化会让系数的取值变得平均。对于关联特征，这意味着他们能够获得更相近的对应系数。还是以Y=X1+X2Y=X1+X2为例，假设X1X1和X2X2具有很强的关联，如果用L1正则化，不论学到的模型是Y=X1+X2Y=X1+X2还是Y=2X1Y=2X1，惩罚都是一样的，都是2αα。但是对于L2来说，第一个模型的惩罚项是2α2α，但第二个模型的是4α4α。可以看出，系数(待求参数)之和为常数时，各系数相等时惩罚是最小的，所以才有了L2会让各个系数趋于相同的特点。

　　可以看出，L2正则化对于特征选择来说一种稳定的模型，不像L1正则化那样，系数会因为细微的数据变化而波动。所以L2正则化和L1正则化提供的价值是不同的，L2正则化对于特征理解来说更加有用：表示能力强的特征对应的系数是非零。

　　回过头来看看3个互相关联的特征的例子，分别以10个不同的种子随机初始化运行10次，来观察L1和L2正则化的稳定性。

import numpy as npfrom sklearn.linear_model import LinearRegressionfrom sklearn.linear_model import Ridgesize = 100# We run the method 10 times with different random seedsfor i in range(10):    print("Random seed %s" % i)    np.random.seed(seed=i)    X_seed = np.random.normal(0, 1, size)    X1 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)    X2 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)    X3 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)    Y = X1 + X2 + X3 + np.random.normal(0, 1, size)    X = np.array([X1, X2, X3]).T    lr = LinearRegression()    lr.fit(X, Y)    print("Linear model:", pretty_print_linear(lr.coef_))    ridge = Ridge(alpha=10)    ridge.fit(X, Y)    print("Ridge model:", pretty_print_linear(ridge.coef_))    print()>>>Random seed 0Linear model: 0.728 * X0 + 2.309 * X1 + -0.082 * X2Ridge model: 0.938 * X0 + 1.059 * X1 + 0.877 * X2Random seed 1Linear model: 1.152 * X0 + 2.366 * X1 + -0.599 * X2Ridge model: 0.984 * X0 + 1.068 * X1 + 0.759 * X2Random seed 2Linear model: 0.697 * X0 + 0.322 * X1 + 2.086 * X2Ridge model: 0.972 * X0 + 0.943 * X1 + 1.085 * X2Random seed 3Linear model: 0.287 * X0 + 1.254 * X1 + 1.491 * X2Ridge model: 0.919 * X0 + 1.005 * X1 + 1.033 * X2Random seed 4Linear model: 0.187 * X0 + 0.772 * X1 + 2.189 * X2Ridge model: 0.964 * X0 + 0.982 * X1 + 1.098 * X2Random seed 5Linear model: -1.291 * X0 + 1.591 * X1 + 2.747 * X2Ridge model: 0.758 * X0 + 1.011 * X1 + 1.139 * X2Random seed 6Linear model: 1.199 * X0 + -0.031 * X1 + 1.915 * X2Ridge model: 1.016 * X0 + 0.89 * X1 + 1.091 * X2Random seed 7Linear model: 1.474 * X0 + 1.762 * X1 + -0.151 * X2Ridge model: 1.018 * X0 + 1.039 * X1 + 0.901 * X2Random seed 8Linear model: 0.084 * X0 + 1.88 * X1 + 1.107 * X2Ridge model: 0.907 * X0 + 1.071 * X1 + 1.008 * X2Random seed 9Linear model: 0.714 * X0 + 0.776 * X1 + 1.364 * X2Ridge model: 0.896 * X0 + 0.903 * X1 + 0.98 * X2

可以看出，不同的数据上线性回归得到的模型（系数）相差甚远，但对于L2正则化模型来说，结果中的系数非常的稳定，差别较小，都比较接近于1，能够反映出数据的内在结构。

2. 基于树模型的特征选择(Embedded方式)

　　随机森林具有准确率高、鲁棒性好、易于使用等优点，这使得它成为了目前最流行的机器学习算法之一。随机森林提供了两种特征选择的方法：平均不纯度减少(mean decrease impurity) 和 mean decrease accuracy。

2.1 平均不纯度减少 (Mean Decrease Impurity)

　　随机森林由多个决策树构成。决策树中的每一个节点都是关于某个特征的条件，为的是将数据集按照不同的响应变量一分为二。利用不纯度可以确定节点（最优条件），对于分类问题，通常采用 ==基尼不纯度== 或者 ==信息增益== ，对于回归问题，通常采用的是 ==方差== 或者 ==最小二乘拟合==。当训练决策树的时候，可以计算出每个特征减少了多少树的不纯度。对于一个决策树森林来说，可以算出每个特征平均减少了多少不纯度，并把它平均减少的不纯度作为特征选择的值。

下面的例子是sklearn中基于随机森林的特征重要度度量方法：

from sklearn.datasets import load_bostonfrom sklearn.ensemble import RandomForestRegressorimport numpy as np#Load boston housing dataset as an exampleboston = load_boston()X = boston["data"]Y = boston["target"]names = boston["feature_names"]rf = RandomForestRegressor()rf.fit(X, Y)print("Features sorted by their score:")print(sorted(zip(map(lambda x: "%.4f"%x, rf.feature_importances_), names), reverse=True))

Features sorted by their score:
[(‘0.5128’, ‘LSTAT’), (‘0.2896’, ‘RM’), (‘0.0792’, ‘DIS’), (‘0.0311’, ‘CRIM’), (‘0.0188’, ‘NOX’), (‘0.0179’, ‘AGE’), (‘0.0174’, ‘TAX’), (‘0.0123’, ‘PTRATIO’), (‘0.0086’, ‘B’), (‘0.0074’, ‘RAD’), (‘0.0037’, ‘INDUS’), (‘0.0007’, ‘ZN’), (‘0.0007’, ‘CHAS’)]

　　这里特征得分实际上采用的是 Gini Importance 。使用基于不纯度的方法的时候，要记住：

• 1. 这种方法存在偏向 ，对具有更多类别的变量会更有利；

• 1. 对于存在关联的多个特征，其中任意一个都可以作为指示器（优秀的特征），并且一旦某个特征被选择之后，其他特征的重要度就会急剧下降(因为不纯度已经被选中的那个特征降下来了，其他的特征就很难再降低那么多不纯度了，这样一来，只有先被选中的那个特征重要度很高，其他的关联特征重要度往往较低)。在理解数据时，这就会造成误解，导致错误的认为先被选中的特征是很重要的，而其余的特征是不重要的，但实际上这些特征对响应变量的作用确实非常接近的（这跟Lasso是很像的）。

     　　特征随机选择 方法稍微缓解了这个问题，但总的来说并没有完全解决。下面的例子中，X0、X1、X2是三个互相关联的变量，在没有噪音的情况下，输出变量是三者之和。

from sklearn.ensemble import RandomForestRegressorimport numpy as npsize = 10000np.random.seed(seed=10)X_seed = np.random.normal(0, 1, size)X0 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)X1 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)X2 = X_seed + np.random.normal(0, .1, size)X = np.array([X0, X1, X2]).TY = X0 + X1 + X2rf = RandomForestRegressor(n_estimators=20, max_features=2)rf.fit(X, Y)print('Scores for X0, X1, X2:', ['%.3f'%x for x in rf.feature_importances_])>>>Scores for X0, X1, X2 ['0.272', '0.548', '0.179']

　　当计算特征重要性时，可以看到X1的重要度比X2的重要度要高出3倍，但实际上他们真正的重要度是一样的。尽管数据量已经很大且没有噪音，且用了20棵树来做随机选择，但这个问题还是会存在。

　　需要注意的一点是，关联特征的打分存在不稳定的现象，这不仅仅是随机森林特有的，大多数基于模型的特征选择方法都存在这个问题。

2.2 平均精确率减少 (Mean Decrease Accuracy)

　　另一种常用的特征选择方法就是直接度量每个特征对模型精确率的影响。主要思路是打乱每个特征的特征值顺序，并且度量顺序变动对模型的精确率的影响。很明显，对于不重要的变量来说，打乱顺序对模型的精确率影响不会太大，但是对于重要的变量来说，打乱顺序就会降低模型的精确率。

　　这个方法sklearn中没有直接提供，但是很容易实现，下面继续在波士顿房价数据集上进行实现。

from sklearn.cross_validation import ShuffleSplitfrom sklearn.metrics import r2_scorefrom sklearn.datasets import load_bostonfrom collections import defaultdictfrom sklearn.ensemble import RandomForestRegressorimport numpy as npboston = load_boston()X = boston["data"]Y = boston["target"]names = boston["feature_names"]rf = RandomForestRegressor()scores = defaultdict(list)# crossvalidate the scores on a number of different random splits of the datafor train_idx, test_idx in ShuffleSplit(len(X), 100, .3):    X_train, X_test = X[train_idx], X[test_idx]    Y_train, Y_test = Y[train_idx], Y[test_idx]    r = rf.fit(X_train, Y_train)    acc = r2_score(Y_test, rf.predict(X_test))    for i in range(X.shape[1]):        X_t = X_test.copy()        np.random.shuffle(X_t[:, i])        shuff_acc = r2_score(Y_test, rf.predict(X_t))        scores[names[i]].append((acc - shuff_acc) / acc)print("Features sorted by their score:")print(sorted( [(float('%.4f'%np.mean(score)), feat) for              feat, score in scores.items()], reverse=True) )

Features sorted by their score:
[(0.7508, ‘LSTAT’), (0.5691, ‘RM’), (0.0947, ‘DIS’), (0.0396, ‘CRIM’), (0.0371, ‘NOX’), (0.0223, ‘PTRATIO’), (0.0173, ‘TAX’), (0.0132, ‘AGE’), (0.0071, ‘B’), (0.0053, ‘INDUS’), (0.0036, ‘RAD’), (0.0005, ‘CHAS’), (0.0003, ‘ZN’)]

　　在这个例子当中，LSTAT和RM这两个特征对模型的性能有着很大的影响，打乱这两个特征的特征值使得模型的性能下降了75%和57%。注意，尽管这些我们是在所有特征上进行了训练得到了模型，然后才得到了每个特征的重要性测试，这并不意味着我们扔掉某个或者某些重要特征后模型的性能就一定会下降很多，因为即便某个特征删掉之后，其关联特征一样可以发挥作用，让模型性能基本上不变。

3. 顶层特征选择算法(Wrapper方式)

　　之所以叫做顶层，是因为他们都是建立在基于模型的特征选择方法基础之上的，例如回归和SVM，在不同的子集上建立模型，然后汇总最终确定特征得分。

3.1 稳定性选择 (Stability Selection)

　　在sklearn的官方文档中，该方法叫做随机稀疏模型 (Randomized sparse models)：基于L1的稀疏模型的局限在于，当面对一组互相关的特征时，它们只会选择其中一项特征。为了减轻该问题的影响可以使用随机化技术，通过多次重新估计稀疏模型来扰乱设计矩阵，或通过多次下采样数据来统计一个给定的回归量被选中的次数。
　　稳定性选择是一种基于 二次抽样 和 选择算法 相结合较新的方法，选择算法可以是回归、SVM或其他类似的方法。它的主要思想是在不同的数据子集和特征子集上运行特征选择算法，不断的重复，最终汇总特征选择结果，比如可以统计某个特征被认为是重要特征的频率（被选为重要特征的次数除以它所在的子集被测试的次数）。理想情况下，重要特征的得分会接近100%。稍微弱一点的特征得分会是非0的数，而最无用的特征得分将会接近于0。

　　sklearn在 随机lasso(RandomizedLasso) 和 随机逻辑回归(RandomizedLogisticRegression) 中有对稳定性选择的实现。

from sklearn.linear_model import RandomizedLassofrom sklearn.datasets import load_bostonboston = load_boston()#using the Boston housing data. #Data gets scaled automatically by sklearn's implementationX = boston["data"]Y = boston["target"]names = boston["feature_names"]rlasso = RandomizedLasso(alpha=0.025)rlasso.fit(X, Y)print("Features sorted by their score:")print(sorted(zip(map(lambda x: format(x, '.4f'), rlasso.scores_), names), reverse=True))

Features sorted by their score:
[(‘1.0000’, ‘RM’), (‘1.0000’, ‘PTRATIO’), (‘1.0000’, ‘LSTAT’), (‘0.6450’, ‘CHAS’), (‘0.6100’, ‘B’), (‘0.3950’, ‘CRIM’), (‘0.3800’, ‘TAX’), (‘0.2250’, ‘DIS’), (‘0.2000’, ‘NOX’), (‘0.1150’, ‘INDUS’), (‘0.0750’, ‘ZN’), (‘0.0200’, ‘RAD’), (‘0.0100’, ‘AGE’)]

　　在上边这个例子当中，最高的3个特征得分是1.0，这表示他们总会被选作有用的特征（当然，得分会收到正则化参数alpha的影响，但是sklearn的随机lasso能够自动选择最优的alpha）。接下来的几个特征得分就开始下降，但是下降的不是特别急剧，这跟纯lasso的方法和随机森林的结果不一样。能够看出稳定性选择对于克服过拟合和对数据理解来说都是有帮助的：总的来说，好的特征不会因为有相似的特征、关联特征而得分为0，这跟Lasso是不同的。对于特征选择任务，在许多数据集和环境下，稳定性选择往往是性能最好的方法之一。

3.2 递归特征消除 (Recursive Feature Elimination (RFE))

　　递归特征消除的主要思想是反复的构建模型（如SVM或者回归模型）然后选出最好的（或者最差的）的特征（可以根据系数来选），把选出来的特征放到一遍，然后在剩余的特征上重复这个过程，直到所有特征都遍历了。这个过程中特征被消除的次序就是特征的排序。因此，这是一种寻找最优特征子集的贪心算法。

　　RFE的稳定性很大程度上取决于在迭代的时候底层用哪种模型。例如，假如RFE采用的普通的回归，没有经过正则化的回归是不稳定的，那么RFE就是不稳定的；假如采用的是Ridge，而用Ridge正则化的回归是稳定的，那么RFE就是稳定的。

　　Sklearn提供了 RFE 包，可以用于特征消除，还提供了 RFECV ，可以通过交叉验证来对的特征进行排序。

from sklearn.feature_selection import RFEfrom sklearn.linear_model import LinearRegressionfrom sklearn.datasets import load_bostonboston = load_boston()X = boston["data"]Y = boston["target"]names = boston["feature_names"]#use linear regression as the modellr = LinearRegression()#rank all features, i.e continue the elimination until the last onerfe = RFE(lr, n_features_to_select=1)rfe.fit(X,Y)print("Features sorted by their rank:")print(sorted(zip(rfe.ranking_, names)))

Features sorted by their rank:
[(1, ‘NOX’), (2, ‘RM’), (3, ‘CHAS’), (4, ‘PTRATIO’), (5, ‘DIS’), (6, ‘LSTAT’), (7, ‘RAD’), (8, ‘CRIM’), (9, ‘INDUS’), (10, ‘ZN’), (11, ‘TAX’), (12, ‘B’), (13, ‘AGE’)]

4. 一个完整的例子

　　下面将本文所有提到的方法进行实验对比，数据集采用Friedman #1 回归数据（ 这篇论文 中的数据）。数据是用这个公式产生的：

y=10sin(πx1x2)+20(x3−0.5)2+10x4+5x5+ey=10sin⁡(πx1x2)+20(x3−0.5)2+10x4+5x5+e

x1x1到x5x5是由 单变量分布 生成的，ee是 标准正态离差 N(0,1)N(0,1)。另外，原始的数据集中含有5个噪音变量 x6,…,x10x6,…,x10，跟响应变量yy是独立的，并增加了4个额外的变量x11,…x14x11,…x14，分别是x1,…,x4x1,…,x4的关联变量，通过f(x)=x+N(0,0.01)f(x)=x+N(0,0.01)生成，这将产生大于0.999的关联系数。这样生成的数据能够体现出不同的特征排序方法应对关联特征时的表现。

　　接下来在上述数据上运行所有的特征选择方法，并且将每种方法给出的得分进行归一化，让取值都落在0-1之间。对于RFE来说，由于它给出的是顺序而不是得分，我们将最好的5个的得分定为1，其他的特征的得分均匀的分布在0-1之间。

__author__ = 'steven'from sklearn.linear_model import (LinearRegression, Ridge, Lasso, RandomizedLasso)from sklearn.feature_selection import RFE, f_regressionfrom sklearn.preprocessing import MinMaxScalerfrom sklearn.ensemble import RandomForestRegressorimport numpy as npfrom minepy import MINEnp.random.seed(0)size = 750X = np.random.uniform(0, 1, (size, 14))   # 产生14个特征变量,序号为0-13;一共750个样本# 跟y有直接关系的是变量x1-x5(序号是0-4), x6-x10为噪声变量,并且独立(与其他变量不相关)Y = (10 * np.sin(np.pi * X[:, 0] * X[:, 1]) + 20 * (X[:, 2] - .5) ** 2 +     10 * X[:, 3] + 5 * X[:, 4] + np.random.normal(0, 1))# 变量x11,x12,x13,x14(序号10-13),这些数据由x1,x2,x3,x4加上随机噪声产生X[:, 10:] = X[:, :4] + np.random.normal(0, .025, (size, 4))feature_names = ["x%s" % i for i in range(1, 15)]ranks = {}# 将每个特征的得分缩放后,以字典形式存储def rank_to_dict(score, feature_names, order=1):    nd_array = order * np.array([score]).T  # [score]为二维行向量,但是fit_transform是以列来进行规范化的,所以需要转置    ranks = MinMaxScaler().fit_transform(nd_array).T[0]   # T[0]返回ndarray的第一列,为1维数组;.T[0]等价于[:, 0]    ranks = list(map(lambda x: round(x, 2), ranks))   # 注意在python3中，map函数得到的是对象，需要用list()转化才能得到list中的数据    return dict(zip(feature_names, ranks))#### 单变量特征选择# 线性相关程度: 计算每个特征xi和应变量Y的相关程度;这里的f_regression通过F检验用于评估两个随机变量的线性相关性f, pval = f_regression(X, Y, center=True)  # 注意X一定为二维ndarray(n_samples, n_features)ranks["Correlation"] = rank_to_dict(f, feature_names)# # 皮尔森相关系数(Pearson Correlation Coefficient): Scipy的pearsonr方法能够同时计算相关系数和p-value# from scipy.stats import pearsonr# corrs = []# for i in range(X.shape[1]):#     corr, pval = pearsonr(X[:, i], Y)   # pearsonr的系数是两个一维ndarray数组,也可以是list#     corrs.append(corr)# ranks["Correlation"] = rank_to_dict(corrs, feature_names)# 最大信息系数(Maximal Information Coefficient): 计算每个特征xi和应变量Y的最大信息系数mine = MINE()mic_scores = []for i in range(X.shape[1]):  # shape[0]为样本数,shape[1]为特征数    mine.compute_score(X[:, i], Y)    m = mine.mic()    mic_scores.append(m)ranks["MIC"] = rank_to_dict(mic_scores, feature_names)#### 线性回归和正则化# 回归系数: 根据线性回归的系数判断特征的重要性lr = LinearRegression(normalize=True)lr.fit(X, Y)ranks["LinearRegression"] = rank_to_dict(np.abs(lr.coef_), feature_names)# l1正则: Lasso的参数lasso = Lasso(alpha=.05)lasso.fit(X, Y)ranks["Lasso"] = rank_to_dict(np.abs(lasso.coef_), feature_names)# l2正则: 岭回归的参数ridge = Ridge(alpha=7)ridge.fit(X, Y)ranks["Ridge"] = rank_to_dict(np.abs(ridge.coef_), feature_names)#### 随机森林特征选择# 平均不纯度减少(Mean Decrease Impurity): 随机森林建树的过程中 根据不纯度选择特征的过程rf = RandomForestRegressor()rf.fit(X, Y)ranks["RandomForestRegressor"] = rank_to_dict(rf.feature_importances_, feature_names)#### 顶层特征选择基于基础模型的特征选择# 稳定特征选择(Stability Selection): 随机lasso算法中实现稳定特征选择rlasso = RandomizedLasso(alpha=0.04)rlasso.fit(X, Y)ranks["Stability"] = rank_to_dict(np.abs(rlasso.scores_), feature_names)# 递归特征消除(Recursive Feature Elimination): 普通线性回归(lr)实现递归特征消除# stop the search when 5 features are left (they will get equal scores)rfe = RFE(lr, n_features_to_select=5)rfe.fit(X, Y)ranks["RFE_lr"] = rank_to_dict(list(map(float, rfe.ranking_)), feature_names, order=-1)#### 根据前面每个特征选择的方式的得到每个特征xi的平均得分xi_mean = {}for x_i in feature_names:    xi_mean[x_i] = round(np.mean([ranks[method][x_i] for method in ranks.keys()]), 2)ranks["mean_score"] = xi_meanif __name__ == '__main__':    method_order = ['Correlation', 'MIC', 'LinearRegression', 'Lasso', 'Ridge',                    'RandomForestRegressor', 'Stability', 'RFE_lr', 'mean_score']    print("\t%s" % "\t".join(method_order))    for x_i in feature_names:        score_info = '\t'.join([str(ranks[method][x_i]) for method in method_order])        print("%s\t%s" % (x_i, score_info))

Correlation MIC LinearRegression Lasso Ridge RandomForestRegressor Stability RFE_lr mean_score x1 0.3 0.39 1 0.79 0.77 0.37 0.65 1 0.66 x2 0.44 0.61 0.56 0.83 0.75 0.54 0.67 1 0.68 x3 0 0.34 0.5 0 0.05 0.1 0 1 0.25 x4 1 1 0.57 1 1 0.64 1 1 0.9 x5 0.1 0.2 0.27 0.51 0.88 0.25 0.63 0.78 0.45 x6 0 0 0.02 0 0.05 0 0 0.44 0.06 x7 0.01 0.07 0 0 0.01 0.01 0 0 0.01 x8 0.02 0.05 0.03 0 0.09 0.01 0 0.56 0.1 x9 0.01 0.09 0 0 0 0 0 0.11 0.03 x10 0 0.04 0.01 0 0.01 0 0 0.33 0.05 x11 0.29 0.43 0.6 0 0.59 0.61 0.32 1 0.48 x12 0.44 0.71 0.14 0 0.68 0.53 0.44 0.67 0.45 x13 0 0.23 0.48 0 0.02 0.09 0 0.89 0.21 x14 0.99 1 0 0.16 0.95 1 0.51 0.22 0.6

从以上结果中可以找到一些有趣的发现：

　　MIC对特征一视同仁，这一点上和关联系数有点像，另外，它能够找出x3x3和响应变量之间的非线性关系。

　　从LinearRegression的结果中，可发现：特征之间存在线性相关关系，每个特征都是独立评价的，因此x1,…,x4x1,…,x4的得分和x11,…x14x11,…x14的得分非常接近，而噪音特征x6,…,x10x6,…,x10正如预期的那样和响应变量之间几乎没有关系。由于变量x3x3是二次的，因此x3x3和响应变量之间看不出有关系（除了MIC之外，其他方法都找不到直接关系）。这种方法能够衡量出特征和响应变量之间的线性关系，但若想选出优质特征来提升模型的泛化能力，这种方法就不是特别给力了，因为所有的优质特征的相关特征也会被挑出来。

　　Lasso能够挑出一些优质特征，同时让其他特征的系数趋于0。当如需要减少特征数的时候它很有用，但是对于数据理解来说不是很好用。例如在结果表中，x11,x12,x13x11,x12,x13的得分都是0，好像他们跟输出变量之间没有很强的联系，但实际上不是这样的。

　　Ridge**将回归系数均匀的分摊到各个关联变量上**，从表中可以看出，x11,…x14x11,…x14和x1,…,x4x1,…,x4的得分非常接近。

　　随机森林基于不纯度的排序结果非常鲜明，在得分最高的几个特征之后的特征，得分急剧的下降。而其他的特征选择算法就没有下降的这么剧烈。

　　稳定性选择常常是一种既能够有助于理解数据又能够挑出优质特征的这种选择，在结果表中就能很好的看出。像Lasso一样，它能找到那些性能比较好的特征x1,x2,x4,x5x1,x2,x4,x5，同时，与这些特征关联度很强的变量也得到了较高的得分。

5. 总结

• 1. 对于理解数据、数据的结构、特点来说，单变量特征选择是个非常好的选择。尽管可以用它对特征进行排序来优化模型，但由于它不能发现冗余（例如假如一个特征子集，其中的特征之间具有很强的关联，那么从中选择最优的特征时就很难考虑到冗余的问题）。
• 1. 正则化的线性模型对于特征理解和特征选择来说是非常强大的工具。L1正则化能够生成稀疏的模型，对于选择特征子集来说非常有用；相比起L1正则化，L2正则化的表现更加稳定，由于有用的特征往往对应系数非零，因此L2正则化对于数据的理解来说很合适。由于响应变量和特征之间往往是非线性关系，可以采用basis expansion(基展开)的方式将特征转换到一个更加合适的空间当中，在此基础上再考虑运用简单的线性模型。
• 1. 随机森林是一种非常流行的特征选择方法，它易于使用，一般不需要feature engineering、调参等繁琐的步骤，并且很多工具包都提供了平均不纯度下降方法。它的两个主要问题，1是重要的特征有可能得分很低（关联特征问题），2是这种方法对特征变量类别多的特征越有利（偏向问题）。尽管如此，这种方法仍然非常值得在你的应用中试一试。
• 1. 特征选择在很多机器学习和数据挖掘场景中都是非常有用的。在使用的时候要弄清楚自己的目标是什么，然后找到哪种方法适用于自己的任务；当选择最优特征以提升模型性能的时候，可以采用交叉验证的方法来验证某种方法是否比其他方法要好；当用特征选择的方法来理解数据的时候要留心，特征选择模型的稳定性非常重要，稳定性差的模型很容易就会导致错误的结论；数据进行二次采样然后在子集上运行特征选择算法能够有所帮助，如果在各个子集上的结果是一致的，那就可以说在这个数据集上得出来的结论是可信的，可以用这种特征选择模型的结果来理解数据。

6. Tips

什么是 卡方检验 ？
　　用方差来衡量某个观测频率和理论频率之间差异性的方法。

什么是 皮尔森卡方检验 ？
　　这是一种最常用的卡方检验方法，它有两个用途：1是计算某个变量对某种分布的拟合程度，2是根据两个观测变量的 Contingency table 来计算这两个变量是否是独立的。主要有三个步骤：第一步用方差和的方式来计算观测频率和理论频率之间卡方值；第二步算出卡方检验的自由度（行数-1乘以列数-1）；第三步比较卡方值和对应自由度的卡方分布，判断显著性。

什么是 p-value ？
　　简单地说，p-value就是为了验证假设和实际之间一致性的统计学意义的值，即假设检验。有些地方叫右尾概率，根据卡方值和自由度可以算出一个固定的p-value，

什么是 统计能力(statistical power) ?

什么是 零假设(null hypothesis) ?
　　在相关性检验中，一般会取“两者之间无关联”作为零假设，而在独立性检验中，一般会取“两者之间是独立”作为零假设。与零假设相对的是备择假设（对立假设），即希望证明是正确的另一种可能。

什么是 多重共线性 ？

7. References

http://blog.datadive.net/selecting-good-features-part-i-univariate-selection/
http://blog.datadive.net/selecting-good-features-part-ii-linear-models-and-regularization/
http://scikit-learn.org/stable/modules/feature_selection.html#univariate-feature-selection
http://www.quora.com/What-are-some-feature-selection-methods
http://www.quora.com/What-are-some-feature-selection-algorithms
http://www.quora.com/What-are-some-feature-selection-methods-for-SVMs
http://www.quora.com/What-is-the-difference-between-principal-component-analysis-PCA-and-feature-selection-in-machine-learning-Is-PCA-a-means-of-feature-selection
文章出处： http://chaoslog.com/te-zheng-xuan-ze.html

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