【计算方法笔记】数值积分

数值积分

一、定积分

数值积分，即用算法来研究如何计算积分，这里的积分为定积分。

1.定积分的引入

2.定积分的计算

定积分的计算我们手算采用的都是牛顿-莱布尼茨公式，这种方法准确但是不适合编写程序。
定积分可以采用其他方法来近似计算，如上图中求取曲边梯形的面积一样，可以采用梯形公式，也可采用Simpson公式来逼近。

二、数值积分

求f(x)在区间[a,b]的定积分∫baf(x)dx,为了克服求f(x)原函数的问题，用插值函数代替f(x)进行计算积分称为数值积分。有以下几种数值积分法：

• 利用等距节点的拉格朗日插值多项式来建立Newton-Cotes公式
• 利用加速技术建立Romberg算法

1.Newton-Cotes公式

在介绍公式之前，理解积分可以表示为函数曲线与横坐标以及区间围成的面积。则我们可以采取梯形公式去逼近该积分。（推导过程略）
在Newton-Cotes公式中最重要的是n=1,2,4的三个公式,n表示几等分。

n=1 梯形公式

I1=b−a2[f(a)+f(b)]

n=2 Simpson公式

I2=b−a6[f(a)+4f(a+b2)+f(b)]

n=4 Cotes公式

I4=b−a90[7f(a)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(b)]

代数精度

如果某个求积公式对于任何次数不超过m的代数多项式都可以准确成立，但对于m+1次代数多项式不能准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。 求积公式具有m次代数精度的充要条件是，它对于f(x)=1,x,x2,.....xm都能准确成立，但对于xm+1不能准确成立。

梯形公式，Simpson公式，Cotes公式分别具有1，3，5阶代数精度。

2.复合求积分

高阶的Newton-Cotes公式可能出现不收敛的问题，又要提高计算精度，提出了复合求积分的方法。

原理:将积分区间n等份，在每个等分的区间使用低阶的Newton-Cotes公式（如梯形公式等），然后把子区间的计算结果求和。

复合梯形公式:

Tn=b−a2n[f(a)+2∑k=1n−1f(xk)+f(b)]

分区间求和，会使左右区间加一次，而中间节点加了两次。

复合梯形公式的步长选择

在算法设计当中，我们通常选用自动选择步长的方式，使原步长计算的积分值Tn与步长折半后的积分值T2n差的绝对值小于预先给定的误差限ε.只要小于ε停止，否则继续计算。

3.Romberg算法

为了提高复合梯形公式的精度，提出了该算法。
该算法是用梯形公式递推以及外推得到T-数表从而进行计算数值积分的值。

原理是用到了对于复合梯形公式有以下：

I−T2nI−Tn≈14

则

I−T2n≈13(T2n−Tn)

从上我们可以首先计算递推，在通过上述第二个公式计算积分值I
(外推)，则计算出来的是Simpson公式。从而我们又可以从复合Simpson公式出发继续递推加外推从而算出cotes公式，从而减少了计算量又达到了很好的精度。