【笔记】图的基础知识

  图是一种比线性表、树更为复杂的数据结构。图是一种非线性的数据结构，图中的数据元素之间的关系是多对多的关系。

1.图的定义

  图是由数据元素集合V与边的集合E构成的。在图中，数据元素通常称为顶点。其中，顶点集合V不能为空，边表示顶点之间的关系。
  若<x,y>∈E则<x,y>表示从顶点x到顶点y存在一条弧，x称为弧尾或起始点，y称为弧头或终端点。这样的图称为有向图。
  若<x,y>∈E且有<y,x>∈E，即E是对称的，则用无序对（x,y）代替有序对<x,y>和<y,x>，表示x和y之间的存在一条边，这样的图称为无向图。

  图的形式化定义为G=(V,E)，其中，V={x|x∈数据元素的集合}，E={<x,y>|Path(x,y)∧(x∈V,y∈V)}。Path(x,y)表示<x,y>的意义或信息。

  注：有向图的边称为弧，无向图的边称为边。图中顶点的顺序可以是任意的，任何一个顶点都可以作为图的第一个顶点。

2.图的相关概念

• 邻接点

  对于无向图G=(V,E)，若边(vi,vj)∈E，则称vi和vj互为邻接点，即vi和vj相邻接。边(vi,vj)依附于顶点vi和vj，或者说边(vi,vj)与顶点vi、vj相关联。对于有向图G=(V,A)，若弧<x,y>∈A，则称顶点vi邻接到顶点vj，顶点vj邻接自顶点vi,弧<x,y>和顶点vi、vj相关联。
  无向图G2的边的集合为E={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(c,d)}，顶点a和b互为邻接点，边(a,b)依附于顶点a和b。顶点c和d互为邻接点，边(c,d)依附于顶点c和d。有向图G1的弧的集合为A={<a,b>,<a,d>,<b,c>,<c,a>,<c,b>,<d,c>}，顶点a邻接到顶点b，弧<a,b>与顶点a和b相关联。顶点c邻接自顶点d，弧<d,c>与顶点d和c相关联。

• 顶点的度

  对于无向图，顶点v的度是指与v相关联的边的数目，记作TD(v)。对于有向图，以顶点v为弧头的数目称为顶点v的入度，记作ID(v)。以顶点v为弧尾的数目称为v的出度，记作OD(v)。顶点v的度为TD(v)=ID(v)+OD(v)。
  若图的顶点个数为n，边数和弧数为e，顶点vi的度记作TD(vi)，则顶点的度与弧或者边数满足关系e=12∑ni=1TD(vi) 。

• 路径

  无向图G中，从顶点v到顶点v’的路径是从v出发，经过一系列的顶点序列到达顶点v’。如果G是有向图，则路径也是有向的，路径的长度是路径上弧或者边的数目。第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。序列中顶点不重复出现的路径称为简单回路或简单环。

• 子图

  假设存在两个图G={V,E}和G′={V′,E′}，若G’的顶点和关系都是V的子集，即有V′⊆V，E′⊆E，则G′为G的子图。

• 连通图和强连通图

  对于无向图G，如果从顶点vi到顶点vj存在路径，则称vi到vj是连通的。如果对于图中任意两个顶点vi、vj∈V，vi和vj都是连通的，则称G是连通图。无向图中的极大连通子图称为连通分量。

  对于有向图G，如果对每一对顶点vi到vj，且vi≠vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则G为强连通图。有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。

• 完全图

  若图的顶点数目是n，图的边（弧）的数目是e。若不存在顶点到自身的边或弧，即若存在<vi,vj>，则有vi≠vj。对于无向图，边数e的取值范围为0~n(n-1)/2。将具有n(n-1)/2条边的无向图称为完全图或无向完全图。对于有向图，弧数e的取值范围是0~n(n-1)/2。具有n(n-1)/2条弧的有向图称为有向完全图。

• 稀疏图和稠密图

  具有e<nlogn条弧或边的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

• 生成树

  一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图的全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。如果在该生成树中添加一条边，则一定会在图中出现一个环。一棵具有n个顶点的生成树仅有n-1条边，如果少于n-1条边，在该图是非连通的；多于n-1条边，则一定有环出现。反过来，具有n-1条边的图不一定能构成生成树。一个图的生成树不一定是唯一的。

• 网

  在图的边或弧上，有时标有与它们相关的数，这种与图的边或弧相关的数称作权。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价。这种带权的图称为网。

3.图的抽象数据类型

数据对象集合

  图的数据对象为图的各个顶点和边的集合。图中的顶点是没有先后次序的。图分为有向图和无向图，图中结点之间的关系用弧或者边表示，通过弧或边相连的顶点相邻接或相关联。
  图中顶点之间是多对多的关系，即任何一个顶点可以有与之邻接或关联的顶点。

基本操作集合

  (1)CreateGraph(&G)：创建图。
  (2)DestroyGraph(&T)：销毁图。
  (3)LocateVertex(G,v)：返回顶点v在图中的位置。
  (4)GetVertex(G,i)：返回图G中序号i对应的值。
  (5)FirstAdjVertex(G,v)：返回v的第一个邻接顶点。
  (6)NextAdjVertex(G,v,w)：返回v的下一个邻接顶点。
  (7)InsertVertex(&G,v)：图的顶点插入操作。
  (8)DeleteVertex(&G,v)：图的顶点删除操作。
  (9)InsertArc(&G,v,w)：图的弧插入操作。
  (10)DeleteArc(&G,v,w)：图的弧删除操作。
  (11)DFSTraverseGraph(G)：图的深度优先遍历操作。
  (12)BFSTraverseGraph(G)：图的广度优先遍历操作。