第二章 一元函数微
微积分创始人：英国数据家牛顿，德国数学家莱布尼兹
微分学{导数−−描述函数变化的快慢微分−−描述函数变化的程度
第二章 第一节 导数的概念
一、引例
二、导数的定义
三、导数的几何意义
四、函数的可导性与连续性的关系
五、单侧导数
一、引例
1.变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为s=f(t)，
则t0到t的平均速度为:
v¯=f(t)−f(t0)t−t0
而在t0时刻的瞬时速度为
v=limt→t0f(t)−f(t0)t−t0
2.曲线的切线斜率
曲线C:y=f(x)在M点处的切线
–割线MN的极限位置MT(当φ→α时)
切线MT的斜率 k=tanα=limφ→αtanφ
割线MN的斜率 tanφ=f(x)−f(x0)x−x0
k=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
两个问题的共性：
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.
类似问题还有：
加速度是速度增量与时间增量之比的极限
角速度是转角增量与时间增量之比的极限
线密度是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度是电量增量与时间增量之比的极限
二、导数的定义
定义1.设函数 y=f(x) 在点x0的某邻域内有定义，若limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limΔx→0ΔyΔx存在，则
称函数f(x)在点x0处可导，并称此极限为y=f(x)在点x0的导数.记作：
y′∣∣x=x0;f′(x0);dydx∣∣∣x=x0;df(x)dx∣∣∣x=x0
即y′∣∣x=x0=f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx
=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx
=limh→0f(x0+h)−f(x0)h
运动质点的位置函数s=f(t)
在t0时刻的瞬间速度
v=limt→t0f(t)−f(t0)t−t0
曲线C:y=f(x)在M点的切线斜率
k=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)
说明：在经济学中，边际成本率，边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数。
limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limΔx→0ΔyΔx
若上述极限不存在，就说函数在点x0处不可导.
若limΔx→0ΔyΔx=∞,也称f(x)在x0的导数为无穷大.
若函数在开区间I内每点都可导，就称函数在I内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作：y′;f′(x);dydx;df(x)dx
注意：f′(x0)=f′(x)∣∣x=x0≠df(x0)dx
在导数的定义中，虽然x可以取区间I内的任意数值，但在极限的过程中，x是常数，Δx或h是变量。
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x=x0处的函数值，即f′(x0)=f′(x)=∣∣x=x0
例1.求函数f(x)=C(C为常数)的导数.
解:y′=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=limΔx→0C−CΔx=0
即(C)′=0
例2.求函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的导数.
解：f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0ax+h−axh=limh→0ax(ah−1)h=axlna
这就是指数函数的导数公式.特殊地，当a=e时,因lne=1,故有(ex)′=ex
例3.求函数f(x)=xn(n∈N+)
解：f′(a)=limx→af(x)−f(a)x−a=limx→axn−anx−a=limx→a(xn−1+axn−2+a2xn−3+⋯+an−1)=nan−1
说明：对一般幂函数y=xμ(μ为常数)(xμ)′=μxμ−1
μ
例如，(x√)′=(x12)′=12x−12=12x√
(1x)′=(x−1)′=−x−1−1=−1x2
(1xx√‾‾‾‾√)′=(x−34)′=−34x74
例4.求函数f(x)=sinx的导数.
解：令h=Δx,则f′(x)=limh→0f(xh)−f(x)h=limh→0sin(x+h)−sinxh=limh→02cos(x+h2)sinh2h=limh→0cos(x+h2)⋅sinh2h2=cosx即(sinx)′=cosx
类似可证得(cosx)′=−sinx
例5.求函数f(x)=lnx的导数.
解：f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0ln(x+h)−ln(x)h=limh→01h⋅ln(1+hx)=limh→0[ln(1+hx)xh]1x=1x⋅limh→0ln(1+hx)xh=1xlne=1x即(lnx)′=1x
例6.证明函数f(x)=|x|在x=0不可导.
证：∵f(0+h)−f(0)h=|h|h={1,h>0−1,h<0
∴limh→0f(0+h)−f(0)h不存在,即|x|在x=0处不可导.
例7.设f′(x0)存在，求极限limh→0f(x0+h)−f(x0−h)2h
解：
limh→0f(x0+h)−f(x0−h)2h=limh→0[f(x0+h)−f(x0)2h+f(x0)−f(x0−h)2h]=12⋅[limh→0f(x0+h)−f(x0)h+limh→0f(x0+(−h))−f(x0)(−h)]=12[f′(x0)+f′(x0)]=f′(x0)
三、导数的几何意义
曲线y=f(x)在点(x0,y0)的切线斜率为tanα=f′(x0)若f′(x0)>0,曲线过(x0,y0)上升;若f′(x0)<0,曲线过(x0,y0)下降;若f′(x0)=0,切线与x轴平行，x0称为驻点;若f′(x0)=∞,切线与x轴垂直.
f′(x0)≠∞时,曲线在点(x0,y0)处的切线方程:y−y0=f′(x0)(x−x0)
法线方程(与切线垂直)：y−y0=1f′(x0)(x−x0)
例8.问曲线y=x√3哪一点有垂直切线？哪一点处的切线与直线y=13x−1平行？写出其切线方程.
解:∵y′=(x√3)′=13x−23=131x2‾‾√3∴y′∣∣x=0=∞，故在原点(0,0)有垂直切线x=0直线平行，斜率相同。131x2‾‾√3=13，得x=±1,对应y=±1,则在点(1,1),(−1,−1)处与直线y=13x−1平行的切线方程分别为：y−1=13(x−1),y+1=13(x+1)即x−3y±2=0
四、函数的可导性与连续性的关系
定理1.f(x)在点x处可导⟹f(x)在点x处连续
证:设y=f(x)在点x处可导，即limΔx→0ΔyΔx=f′(x)存在，因此必有ΔyΔx=f′(x)+α,其中limΔx→0α=0故Δy=f′(x)Δ(x)+αΔx⟶Δx→00所以函数y=f(x)在点x连续.
注意：函数在点x连续未必可导.
反例：y=|x|在x=0处连续，但不可导
五、单侧导数
定义2.设函数y=f(x)在点x0的某个右(左)邻域内有定义，若极限lim(Δx→0−)Δx→0+ΔyΔx=lim(Δx→0−)Δx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δx存在，则称此极限值为f(x)在x0处的右(左)导数,记作f′(−)+(x0)
即f′(−)+(x0)=lim(Δx→0−)Δx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δx
例如，f(x)=|x|在x=0处有
f′+(0)=1, f′−(0)=−1
定理2.函数y=f(x)在点x0可导的充分必要条件是f′+(x0)与f′−(x0)存在，且f′+(x0)=f′−(x0).
简写为:f′(x0)存在⟺f′+(x0)=f′−(x0)
定理3.函数f(x)在点x0处右(左)导数存在⟹f(x)在点x0必右(左)连续.
若函数f(x)在开区间(a,b)内可导，且f′+(a)与f′−(b)都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导.
显然：f(x)在闭区间[a,b]上可导⟹f(x)∈C[a,b]
内容小结
1.导数的实质：增量比的极限；
2.f′(x0)=a⟺f′+(x0)=f′−(x0)=a
3.导数的几何意义：切线的斜率;
4.可导比连续，但连续不一定可导;
5.已学过的导数公式
(C)′=0;(xμ)′=μxμ−1;(lnx)′=1x
(sinx)′=cosx;(cosx)′=−sinx;
(ax)′=axlna;(ex)′=ex
6.判断可导性⎧⎩⎨⎪⎪不连续，一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.
