【算法知识总结】最长递增子序列
来源:互联网 发布:中译英在线翻译软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/09 16:23
最长递增子序列:
找到给定序列的最长子序列的长度,使得子序列所有元素单调递增。
解法一 转化为求最长公共子序列
- 设数组{3,5,7,1,2,8}为A
- 对数组A排序,排序后为B={1,2,3,5,7,8}。
- 求A数组的最长递增子序列,就是求数组A与数组B的最长公共子序列
最长公共子序列求法的时间复杂度:
θ(nlgn)+θ(n2)=θ(n2)
解法二 动态规划法
与第一个办法不同的是,动态规划是直接在原问题上采用动态规划
最优子结构:
对于长度为N的数组A[N]={a0,a1,a2,a3,a3,...,an−1} ,假设我们想要以ai 结尾的最大递增子序列长度,设长度L[i] ,那么L[i]={max(L[j])+1,1,where j<i and A[j]<A[i]otherwise
也就是j 的范围是0 到i−1 。这样,想求ai 结尾的最大递增子序列的长度,我们就需要遍历i 之前的所有位置j(0到i−1) ,找出A[j]<A[i] ,计算这些j 中,能产生最大L[j]中的j ,之后就可以求出L[i] 。之后对每一个A[N] 中的元素都计算以他们各自结尾的最大递增子序列长度,这些长度的最大值,就是我们要求的问题数组A 的最大递增子序列的长度
重叠问题:
根据上面公式的推导采用递归实现的话,有一些子问题就会被计算很多次。
动态规划法:
综上所述:LIS问题具有动态规划需要的两个性质,可以使用动态规划求解该问题。设数组A={3,5,7,1,2,8} ,则:
具体打表方式如下:
- 初始化对角线为 1;
- 对每一个
i,遍历j(0到i−1) :
- 若
A[i]<=A[j] ,置 1。- 若
A[i]>A[j] ,取第j 行的最大值加 1。
打完表以后,最后一行的最大值就是最长递增子序列的长度。由于每次都进行遍历,故时间复杂度还是θ(n2) 。
//LIS 的动态规划方式实现 include <iostream> using namespace std; int getLISLength(int A[], int len) { //定义一维数组并初始化为1 int* lis = new int[len]; for (int i = 0; i < len; ++i) lis[i] = 1; // 计算每个i对应的lis最大值,即打表的过程 for (int i = 1; i < len; ++i) for (int j = 0; j < i; ++j) // 0到i-1 if ( A[i] > A[j] && lis[i] < lis[j] + 1) lis[i] = lis[j] + 1; // 更新 // 数组中最大的那个,就是最长递增子序列的长度 int maxlis = 0; for (int i = 0; i < len; ++i) if ( maxlis < lis[i] ) maxlis = lis[i]; delete [] lis; return maxlis; }
解法三 θ(nlgn) 的方案
本解法的具体操作如下:
- 建立一个辅助数组array,依次读取数组元素 x 与数组末尾元素 top比较:
- 如果 x > top,将 x 放到数组末尾;
- 如果 x < top,则二分查找数组中第一个 大于等于x 的数,并用 x 替换它.
遍历结束之后,最长递增序列长度即为栈的大小。
注意c数组的下标代表的是子序列的长度,c数组中的值也是按递增顺序排列的。这才可能用二分查找。
int getLISLength(int num[], int length) { vector<int> ivec; for (int i = 0; i < length; ++i) { if (ivec.size() == 0 || ivec.back() < num[i]) ivec.push_back(num[i]); else { int low = 0, high = ivec.size() - 1; while (low < high) { int mid = (low + high) / 2; if (ivec[mid] < num[i]) low = mid + 1; else high = mid - 1; } ivec[low] = num[i]; } } return ivec.size();
特别注意的是:本方法只能用于求最长递增子序列的长度,辅助数组中的序列不是最长递增子序列:
- 例一:原序列为1,5,8,3,6,7
辅助数组为1,5,8,此时读到3,用3替换5,得到1,3,8; 再读6,用6替换8,得到1,3,6;再读7,得到最终栈为1,3,6,7。最长递增子序列为长度4。- 例二:原序列为1,5,8,3
则最栈辅助数组为1,3,8。明显这不是最长递增子序列!
合唱队问题
问题描述:
计算最少出列多少位同学,使得剩下的同学排成合唱队形
问题说明:
N 位同学站成一排,音乐老师要请其中的(N−K) 位同学出列,使得剩下的K位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形:设K 位同学从左到右依次编号为1,2…,K, 他们的身高分别为T1,T2,…,TK, 则他们的身高满足存在i(1<=i<=K) 使得T1<T2<......<Ti−1<Ti>Ti+1>......>TK 。
任务是:
已知所有N位同学的身高,计算最少需要几位同学出列,可以使得剩下的同学排成合唱队形。
输入:
整数N ,一行整数,空格隔开,N 位同学身高
输出:
最少需要几位同学出列
样例输入:8186 186 150 200 160 130 197 200
样例输出:
4
根据题意可知,我们需要求出一个“中间点”,使得其左边的【最长递增子序列】和其右边的【最长递减子序列】之和最大。
```#include <iostream> #include <vector> using namespace std; int LonggestIncreaseLength(vector<int> &vec) { vector<int> result(vec.size(), 1); vector<int> result2(vec.size(), 1); for (int i = 1; i < vec.size(); i++) { for (int j = 0; j < i; j++) { if (vec[i] > vec[j] && result[i] < result[j] + 1) result[i] = result[j] + 1; } } for (int i = vec.size() - 2; i >= 0; --i) { for (int j = vec.size() - 1; j > i; --j) { if (vec[i] > vec[j] && result2[i] < result2[j] + 1) result2[i] = result2[j] + 1; } } int max = 0; for (int i = 0; i < vec.size(); i++) { if (max < result[i] + result2[i]) max = result[i] + result2[i]; } return vec.size() - max + 1; } int main() { int n; cin >> n; if (n <= 0) return 0; vector<int> ivec(n); for (int i = 0; i < n; i++) cin >> ivec[i]; cout << LonggestIncreaseLength(ivec) << endl; }
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