数值分析小白学习之路(二) 插值法

来源：互联网发布：linux怎样创建文件夹编辑：程序博客网时间：2024/05/23 22:40

插值法

设函数 y=f(x),对于x∈[a,b],a≤x0<x1<⋯<xn≤b的函数值y1,y2,…,yn,, 存在函数 P(x), 使得P(xi)=yi,i=0,1,…,n 成立, 则称 P(x) 为 f(x) 的插值函数. xi,i=0,1,…,n为插值节点, [a,b]为插值区间, 求插值函数P(x)的方法称为插值法.
插值函数的作用就是用于函数的拟合. 通常插值函数的应用就是通过函数表来构造一个足够简单, 并且能够反映函数f(x)的特征的函数.
一般来说, 我们可以将每个函数都看做是一个多项式, 对于一个不超过 n 次的多项式函数, 我们给出其定义P(x)=a0+a1x+⋯+anxn.
根据P(x)的类型, 我们对P(x)有不同的称呼. 如果插值函数是一个多项式, 那么我们就称P(x)为插值多项式, 相应的插值法称之为多项式插值. 若P(x)为分段的多项式, 则称之为分段插值. 若P(x)为三角多项式, 就称之为三角插值.

对于区间[a,b], 我们给出这个区间内的 n + 1个点 a≤x0<x1<⋯<xn≤b 和其对应的函数值yi=f(xi)(i=0,1…,n), 对于给定的这个条件, 我们可以得到一个简单函数并且使其满足P(xi)=yi,i=0,1,…,n.
将 n+1个点依次代入函数P(x)=a0+a1x+⋯+anxn 中, 我们就可以得到一个关于系数a0,a1,…,an的 n+1元线性方程组.
$⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ a 0 + a 1 x 0 + \dots + a n x n 0 = y 0, a 0 + a 1 x 1 + \dots + a n x n 1 = y 1, a 0 + a 1 x n + \dots + a n x n n = y n$
系数矩阵
$A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 11 ⋮ 1 x 0 x 1 \dots x n \dots \dots \dots x n 0 x n 1 ⋮ x n n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥$
对于这个行列式, 我们可以通过范德蒙德公式来求得其行列式的值.
detA=∏n−1i,j=0,i>j(xi−xj≠0)
detA≠0, 则根据行列式的性质, 可以知道A 是可逆的, 即 AX = 0 只存在零解, AX = b只存在唯一解.
对应的参数确定下来, 则由参数唯一确定的插值多项式的也随之确定下来了, 故我们得到的插值函数 P(x)也是唯一的.

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