点分治 12

例题 poj1741 tree

Description

给定一棵 n 个顶点的树，边带正权，问你距离不超过 k 的顶点对数。
n≤105

Solution

这道题就当做点分治讲解吧。

• 树的重心：如果删除树上一个点 u 后每颗子树的大小都不超过 n2 ，那么称 u 为这棵树的重心。

假设我们按重心把树分成了若干子树，那么所要求得顶点对必居下面三者其一。

• 1 属于同一子树的顶点对 (v,w) :
  递归下去。
• 2 属于不同子树的顶点对 (v,w) ：
  直接对所有点按照距离重心距离排序，然后枚举所有点，二分即可，减去情况 1 中的点对。
• 3 重心s和其他顶点v组成的顶点对 (s,v) ：
  额外添加一个距离 s 为零的结点，转化为情况 2 。

然后就没什么好说的，看代码吧。
题解。

---

例题 bzoj2599 [IOI2011]Race

题解。

---

例题 bzoj2152 聪聪可可

题解。

---

例题 hdu4812 D Tree

Description

给定一棵 n 个点的树,每个点有权值 Vi
问是否存在一条路径使得路径上所有点的权值乘积 mod(106+3) 为 K
输出路径的首尾标号,若有多解,输出字典序最小的解

Solution

可以预处理乘法逆元。
记录一个 id 数组，id[x] 代表当前这次分治时，到重心 s 的乘积（不含重心）在模意义下为 x 的点的编号最小是多少。
到某个点 U 的时候，如果 id[K∗inverse[dis[U]∗w[s]%MOD]%MOD] 存在，就尝试更新答案。

---

例题 cdoj1562 Amaz1ng Prime

Description

给定一棵树，边带权（ 0 或者 1 ），问你树上有多少条路径满足权值之和为素数。

Solution

tong[i] 表示树上权值和为 i 的路径数量。
dis[u] 表示每点 u 到重心 s 的距离。
tong[i]=f[0]∗f[x]+f[1]∗f[x−1]+...+f[x]∗f[0]

---

例题 bzoj3697 采药人的路径

题解。

---

点分治总结

对于一般的点分治问题，解决了跨越重心的统计就好了。复杂度是 O(log2n∗跨越重心统计复杂度)。附上学长博客。
通过几道点分治例题，已经可以运用简单点分治解决问题。