[日常训练] Graph

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Description

• 给定一张n个点m条边的无向图，每条边连接两个顶点，保证无重边自环，不保证连通
• 你想在这张图上进行若干次旅游，每次旅游可以任选一个点x作为起点，再走到一个与x直接有边相连的点y，再走到一个与y直接有边相连的点z并结束本次旅游
• 作为一个旅游爱好者，你不希望经过任意一条边超过一次，注意一条边不能即正向走一次又反向走一次，注意点可以经过多次，在满足此条件下，你希望进行尽可能多次的旅游，请计算出最多能进行的旅游次数并输出任意一种方案

Input Format

• 第1行两个正整数n与m，表示全图的点数与边数下接m行，每行两个数字u与v表示一条边

Output Format

• 第1行一个整数cnt表示答案下接cnt行，每行三个数字x,y,z，表示一次旅游的路线如有多种旅行方案，任意输出一种即可

Sample Input

• 4 5 1 2 3 2 2 4 3 4 4 1

Sample Output

• 2 4 1 2 4 3 2

Constraints

• 对于前 20% 的数据，n≤10,m≤20
• 对于令 20% 的数据，m=n−1，并且图连通
• 对于令 10% 的数据，每个点的度数不超过2
• 对于 100% 的数据，n≤100000,m≤200000

Solution 构造 + DFS

• 显然，题目是要我们尽可能多地找出像下面这样的“东西”把整张图覆盖完
  
• 考虑到这里有一个公共点y，我们不妨把这两条边看作是分配到点y上
• 那么显然，当一个点分配的边数为偶数时，我们可以通过两两任意组合构造出一种匹配完所有边的方案，为奇数时则会剩下一条边
• 进一步的，我们可以通过这一性质构造出一种最优方案
• 首先说一下结论：对于一个边数为m的连通快，最优方案必然有⌊m2⌋条旅行路线
• 我们先对这张图构造出一棵DFS树，显然图中有非树边和树边两种边
• 然后按照DFS的顺序处理分配方案，也就是处理到某一节点x时，它子树中所有点的分配方案已经处理完了
• 那么此时对于这个点x：它所能选择的边有它的父亲边，它未被选择过的儿子边以及连向它的未被选择过的非树边
• 我们把后两者先分配到点x，那么我们就总能通过调整父亲边是否分配给点x来使得点x分配到的边数固定为偶数
• 于是最后只可能在根节点处剩下一条边，并且是在总边数为奇数的情况下，则我们上面所说的结论成立，也因此构造出了一组方案

Code

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cctype>#include <cstring>#include <algorithm> using namespace std;const int S = 1 << 20;char frd[S], *hed = frd + S;const char *tal = hed;inline char nxtChar(){    if (hed == tal)        fread(frd, 1, S, stdin), hed = frd;    return *hed++;}inline int get(){    char ch; int res = 0;    while (!isdigit(ch = nxtChar()));    res = ch ^ 48;    while (isdigit(ch = nxtChar()))        res = res * 10 + ch - 48;    return res;}inline void put(int x){    if (x > 9) put(x / 10);    putchar(x % 10 + 48); }const int N = 1e5 + 5, M = N << 2;int n, m, len, Ans;bool vis[N], stp[M];struct Edge {    int num, to; Edge *nxt;};Edge p[M], *T = p, *lst[N];Edge q[M], *Q = q, *rst[N];inline void LinkEdge(int x, int y, int z){    (++T)->nxt = lst[x]; lst[x] = T; T->to = y; T->num = z;    (++T)->nxt = lst[y]; lst[y] = T; T->to = x; T->num = z;}inline void RinkEdge(int x, int y){    (++Q)->nxt = rst[x]; rst[x] = Q; Q->to = y; ++len;}inline void Dfs(int x, int fa, int I){    int cnt = 0, y;     for (Edge *e = lst[x]; e; e = e->nxt)    {        if (vis[y = e->to])         {            if (y == fa || stp[e->num]) continue;            ++cnt;            stp[e->num] = true;            RinkEdge(x, y);            continue;        }        vis[y] = true;        Dfs(y, x, e->num);    }       for (Edge *e = lst[x]; e; e = e->nxt)    if (vis[y = e->to] && !stp[e->num])    {        if (y == fa) continue;        ++cnt;        stp[e->num] = true;        RinkEdge(x, y);    }    if ((cnt & 1) && fa)         stp[I] = true, RinkEdge(x, fa); }int main(){    freopen("graph.in", "r", stdin);    freopen("graph.out", "w", stdout);    n = get(); m = get(); int x, y;    for (int i = 1; i <= m; ++i)    {        x = get(); y = get();        LinkEdge(x, y, i);     }    for (int i = 1; i <= n; ++i)        if (!vis[i])         {            len = 0; vis[i] = true;            Dfs(i, 0, 0);            Ans += len >> 1;        }    put(Ans), putchar('\n');    for (int i = 1; i <= n; ++i)        for (Edge *e = rst[i]; e && e->nxt; e = e->nxt->nxt)            {                put(e->to), putchar(' ');                put(i), putchar(' ');                put(e->nxt->to), putchar('\n');            }    fclose(stdin); fclose(stdout);    return 0;}