C++ 数据结构-树状数组

树状数组:用来求数组中的连续和 
从一般O(n)优化到 - O(log n)


【方法】重新构造一个c[],用来控制读入的原数组a[](是某些数据的和)


怎么控制？


如果它二进制末尾0个数用k表示，
c[i]控制的数共2^k个数，从a[i]开始,a[i-1],a[i-2]...


举例：
c[1] = a[1];
c[2] = a[2] + a[1];
c[4] = a[4] + a[3] + a[2] + a[1];
c[8] = a[8] + a[7] + a[6] + .. + a[1];
c[16] = a[16] + a[15] + ... a[1];


更加具体一些：
c[6] = a[6] + a[5];    //6(110)末尾有一个零，控制(2^1=2)个数
c[10] = a[10] + a[9];  //10(1010)末尾有一个零，控制2^1=2个数
c[12] = a[12] + a[11] + a[10] + a[9]; //12(1100)末尾2个0，控制4个数
c[14] = a[14] + a[13]; //14(1110)末尾有一个零，控制2个数




核心函数：
int lowbit(int x) {
return x&(-x); // 算2^k, k是x的二进制 末尾0的个数
}


例:
10的二进制是1010，末尾有1个0，
所以lowbit(10)=2的1次方=2，所以c[10]控制2个数：a[10]+a[9]


16的二进制是10000，末尾有4个0，
所以lowbit(16)=2的4次方=16，所以c[16]控制16个数，a[16]+...a[1];


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[修改操作]：向上走
修改a[3]时，修改c[3], c[4], c[8], c[16]; [要走到n]
修改a[5]时，修改c[5], c[8], c[16]

void update(int i, int data) { //修改第i个数，增加datawhile(i <= n) {c[i] += data;i += lowbit(i);}}

[求和操作]：向下走

int sum(int i) { //求a[1]加到a[i]int s = 0;while(i >= 1){s += c[i]; //从c[i]开始，往下加i -= lowbit(i);}return s;}

例如:
求a[1] +..+ a[9]:
首先+c[9];
9 = 9 - lowbit(9) = 8;所以再+c[8];
8 = 8 - lowbit(8) = 0;结束;

*求a[5]+a[6]+....a[98] : 结果就是 sum(98) - sum(5-1);

【Code】求区间和

#include <iostream>using namespace std;int a[10001], c[10001];int n;inline int lowbit(const int x) {return x & (-x);}void update(int i, int data) { //修改第i个数，增加datawhile(i <= n) {c[i] += data;i += lowbit(i);}}int sum(int i) { //求a[1]加到a[i]int s = 0;while(i >= 1){s += c[i]; //从c[i]开始，往下加i -= lowbit(i);}return s;}int main() {int q, l, r;cin >> n;for(int i=1; i<=n; i++) {cin >> a[i];update(i, a[i]);}cin >> q;  //Q次询问while(q --) {cin >> l >> r; //询问区间[l, r]中数之和cout << sum(r) - sum(l-1) << endl;}return 0;}

【模版】树状数组1

题目描述

已知一个数列，需要进行下面两种操作：

1.将某一个数加上x

2.求出某区间每一个数的和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含3个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x k 含义：将第x个数加上k

操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入输出样例

输入样例#1： 

5 51 5 4 2 31 1 32 2 51 3 -11 4 22 1 4

输出样例#1： 

1416

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

-----------------------------

【Code】与之前差不多

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;#define MAXN 500010int n, m;int a[MAXN], c[MAXN];inline int lowbit(int x) {    return x & (-x);}void update(int i, int data) {    while(i <= n) {        c[i] += data;        i += lowbit(i);    } }int sum(int x) {    int s = 0;    while(x > 0) {        s += c[x];        x -= lowbit(x);    }    return s;}int main() {    int flg, x, y;    cin >> n >> m;    for(int i=1; i<=n; i++) {        scanf("%d", &a[i]);        update(i, a[i]);    }    for(int i=1; i<=m; i++) {        cin >> flg >> x >> y;        if(flg == 1) update(x, y);        else if(flg == 2) printf("%d\n", sum(y) - sum(x-1));    }    return 0;}

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