[jzoj]3542. 【清华集训2014】冒泡排序（树状数组+读入/输出优化+思维）

Problem

对一个n元排列做冒泡排序，问做了k次交换之后排列的样子。

Data constraint

n<=10^6，k<=10^12

Solution

• 一个比较显然的结论：

  • 一个数x前如果有t个比它大的数，那么前t轮它一定是每一轮都往前移一格.

  • t轮之后，它就有可能往后移了.

• 那么我们依此可以算出每一轮有多少个数会往前移

• 也依此可以求出刚好到第几轮交换次数不会超过k

• 求出轮数t之后.

• 如何求t轮之后的序列呢？

• 【方法一：并查集】

  • 我们现在要做的是把t轮之后的每个数放到对应位置

  • 比如一个数本来需要往前x步，当x<=t时，我们可以直接往前移

  • 当x>t时，这时会发现它会往后走，那么此时，我的想法就是先不理它

  • 先把那些不可能往后走的填了

  • 即从按权值小到大填，一开始先填1对应应该放到的位置，这个很显然可以算出来

  • 然后我们再看2应该填的位置，如果它与1填的位置冲突了，就把它往后拉一个

  • 往后拉这一动作我们使用并查集，就可以在一个玄学的时间复杂度内解决这道题.

  • 注意，如果直接递归会爆栈，所以打C++对于递归一定要敏感.

• 【方法二：找结论】

  • 首先，我们可以确定的是那些x<=t的

  • 对于所有x>t的，可以发现它们是有序的，因为如果前面有一个数比它大，它都不可能往后移.

  • 非常简单高效.

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求出每一个数前面有多少个数比它大我们可以用树状数组

【树状数组的引入】

• 优点是常数小，易理解

• 【单点修改update】

  • MainTain：lowbit(x)

  • 每一次都是把x−>x+lowbit(x)

• 【区间查询find】

  • 与单点修改一样，我们每一次都是把x−>x−lowbit(x)