KMP算法原理

字符串匹配是最计算机科学的基本研究问题之一，在文档检索、生物信息等领域有着举足轻重的地位。简单来说字符串匹配问题就是：如何确定某字符串是否包含另一字符串。暴力搜索算法(Brute Force, BF)是最容易想到和实现的，但是它高达O(n^2)时间复杂度难以满足许多场景。KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现。KMP算法的特点就是利用了匹配失败后的信息，达到了减少模式串和主串匹配次数的目的，是一种广泛应用的高效匹配算法。

假定待匹配主串为T，模式串(pattern)为P。例如：

在讲KMP之前我们首先来看一下暴力搜索算法(Brute Force, BF)是怎样执行的。

首先是第一趟匹配，从T[0]和P[0]开始：

发现某个字符不相同，终止此次匹配，进行下一趟匹配：

照此方法依次匹配下去，直到匹配成功或者到最后一个字串匹配失败返回。显然暴力搜索的复杂度为O(n^2)，尤其是当主串为“aaaaaaaaaaaaaaab”，模式串为“aaaab”这类形式，匹配次数达到最大。

那么怎样才能改进暴力搜索算法呢？我们注意到，暴力搜索过程的每趟匹配失败后就开始下一趟匹配，并且每次匹配都是从头开始重新匹配，如果我们能够利用每次匹配失败的信息，就能够大大减少重复劳动。这就是KMP方法的基本思想。

首先要引入前缀表（prefix table）的概念：

对于模式串，它的前缀就是从第一个字符开始的某个字串，而前缀表就由这些字串导出。例如模式串P，它的前缀分别是：

我们不考虑前缀是模式串自身的情况，即将最后一行删去。

下一步就是找出每个前缀的最长公共前后缀的长度，比如前缀“aba”的最长公共前后缀为“a”，长度为1；前缀“abab”的最长公共前后缀为“ab”，长度为2。

将得到的所有长度值列出来，并在最前面加上一个-1，得到一个前缀序列：

我们得到了前缀序列：-1，0，0，1，2，然后将前缀表对应模式串写出来，就得到了前缀表：

再一次开始匹配算法。与暴力搜索一样，我们先从T[0]，P[0]开始。不同的是模式串标注了前缀表信息（红色）和下标信息（蓝色）：

第一趟匹配：

匹配到第四个字符时发现a!=b，这时不像暴力匹配那样直接进行下一趟匹配，而是查看前缀表，找到匹配失败处的数字：1，则下次匹配就从模式串下标为1的字符开始：

下一趟匹配（主串绿色字符表示已经匹配过）：

发现第一个字符a!=b，查看前缀表，发现对应的是0，则下次匹配从模式串下标为0的字符开始：

（可以看出，从第一趟匹配到第二趟匹配，直接跳过了三个字符（绿色），比暴力搜索的优势就在这里体现）

失败处前缀表对应的是0，下趟匹配从模式串下标为0的字符开始：

失败处前缀表对应的是-1，下趟匹配从模式串下标为-1的字符开始（模式串-1位置就是第一个字符前的假定位置，匹配时直接从下标为0处开始即可）：

失败处前缀表对应的是2，下趟匹配从模式串下标为2的字符开始......

当匹配成功后，继续搜索，把模式串的最后一位当作匹配失败位，找到其前缀表对应的数字，继续上述匹配循环。

继续匹配直到搜索到最后，退出KMP算法。