算法期中1007. Tarjan算法计算有向图强连通分量

算法期中1007. 怪兽训练

有向图强连通分量

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

Tarjan算法

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。

算法伪代码

tarjan(u) {    DFN[u]=Low[u]=++Index     // 为节点u设定次序编号和Low初值    Stack.push(u)                     // 将节点u压入栈中    for each (u, v) in E               // 枚举每一条边        if (v is not visted)          // 如果节点v未被访问过            tarjan(v)              // 继续向下找            Low[u] = min(Low[u], Low[v])        else if (v in S)            // 如果节点v还在栈内            Low[u] = min(Low[u], DFN[v])    if (DFN[u] == Low[u])        // 如果节点u是强连通分量的根       repeat           v = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点           print v       until (u== v)}

算法流程演示

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

题目

贝爷的人生乐趣之一就是约战马会长. 他知道马会长喜欢和怪兽对决，于是他训练了N只怪兽，并对怪兽用0到N-1的整数进行编号. 贝爷训练怪兽的方式是让它们一对一互殴. 两只怪兽互殴会发生以下三种可能的结果：
1） 什么事也没发生
2） 第一只怪兽永远消失
3） 第二只怪兽永远消失
怪兽们经过了旷日持久的互殴. 贝爷不知道哪些怪兽进行了互殴也不知道它们互殴的顺序，但他确信无论经过多少次互殴，总有一些怪兽能存活下来，他将要派这些怪兽去和马会长对决. 现在他想知道至少有多少只怪兽能存活下来，你能帮他算出来吗？

请实现下面Solution类中的minLeftMonsters函数，完成上述功能.
参数G: N*N（1 <= N <= 50）字符矩阵，G[i][j]表示怪兽i和怪兽j互殴会发生的结果. 字符‘+’代表怪兽i会消失，’-’代表怪兽j会消失，数字’0’则代表什么都没发生. 输入保证G[i][i]一定是’0’，而且G[i][j]和G[j][i]一定相反（’-’和’+’互为相反，’0’和自身相反）.
返回值：怪兽存活的最少数目.

例1：
G =
0+-
-0+
+-0
返回1.

例2：
000
000
000
返回3.

解题分析

这道题是让我们计算在经过多次无序的互殴之后、怪物存活的最少数量。那我们来怎么思考这个问题呢？
其实我们可以把怪物抽象成一个个节点，然后把怪兽消失的动作抽象成一条条有向路径，这样的话，我们就可以得到一个有向图，表示怪物之间互殴的结果。

很明显，这样的话，如果若干只怪物是互斥的，即若干个节点构成一个环，那么这几只怪物最后存活的数量最少为1，刚好是环的个数，也即计算强连通分量的个数。
这样我们就可以通过上面提到的Tarjan算法的思想来解决这个问题，在此就不再赘述~

源代码

class Solution {public:    int STACK[50], top;          //Tarjan 算法中的栈     bool InStack[50];             //检查是否在栈中     int DFN[50];                  //深度优先搜索访问次序     int Low[50];                  //能追溯到的最早的次序     int ComponetNumber;        //有向图强连通分量个数     int Index;                 //索引号     vector <int> Edge[50];        //邻接表表示     vector <int> Component[50];   //获得强连通分量结果    int minLeftMonsters(vector<vector<char>> G) {        top = ComponetNumber = Index = 0;        memset(STACK, -1, sizeof(STACK));        memset(InStack, 0, sizeof(InStack));        memset(DFN, -1, sizeof(DFN));        memset(Low, -1, sizeof(Low));        for (int i = 0; i < 50; i++) {            while (!Edge[i].empty()) {                Edge[i].pop_back();            }            while (!Component[i].empty()) {                Component[i].pop_back();            }        }        for (int i = 0; i < G.size(); i++) {            for (int j = 0; j < G[i].size(); j++) {                if (G[i][j] == '+') {                    Edge[i].push_back(j);                }            }        }        for (int i = 0; i < G.size(); i++) {            if (DFN[i] == -1) {                Tarjan(i);            }        }        return ComponetNumber;    }    void Tarjan(int i) {        int j;        DFN[i] = Low[i] = Index++;        InStack[i] = true;        STACK[++top] = i;        for (int edge = 0; edge < Edge[i].size(); edge++) {            j = Edge[i][edge];            if (DFN[j] == -1) {                Tarjan(j);                Low[i] = min(Low[i], Low[j]);            }            else if (InStack[j]) {                Low[i] = min(Low[i], DFN[j]);            }        }        if (DFN[i] == Low[i]) {            ComponetNumber++;            do {                j = STACK[top--];                InStack[j] = false;                Component[ComponetNumber].push_back(j);            } while (j != i);        }    }};

以上是我对这道问题的一些想法，有问题还请在评论区讨论留言~